Los reales de Cauchy y los reales de Dedekind satisfacen "los mismos teoremas matemáticos"

Question

La sucinta pregunta

La conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer (para tomar un ejemplo al azar) menciona L-funciones y, por tanto, los números complejos y, por tanto, los números reales (debido a que los complejos se construyen a partir de los reales). Dos simples preguntas que, probablemente, sólo indicar que no entiendo la lógica bastante bien: (1) si consideramos BSD como una declaración acerca de un modelo explícito de los números reales (por ejemplo, el uno construido a partir de secuencias de Cauchy o la de Dedekind cortes), entonces ¿por qué es "obvio" que BSD es cierto para uno iff es cierto para los otros? (2) Es "obvio" que BSD puede ser formulado como una declaración de BSD(F), que tiene sentido en una arbitraria completa ordenado de arquímedes campo de F? Si es así, también es "obvio" que BSD en este sentido es isomorfismo-invariante, es decir, si F1 y F2 son isomorfos, entonces BSD(F1) iff BSD(F2)?

Estoy interesado en aprender las técnicas detrás de por qué los matemáticos tratar estas afirmaciones tan obvia.

La pregunta original(s)

Hasta un único isomorfismo, sólo hay una completa arquímedes ordenó campo, y los matemáticos se refieren a ella como "números reales". Hay dos construcciones para mostrar que dichas existe un campo, uno con Dedekind recortes y la otra mediante secuencias de Cauchy. Para ser aún más explícito, permítanme definir "el Cauchy reales" en esta pregunta para significar el conjunto de clases de equivalencia de Cauchy secuencias modulo de la habitual relación de equivalencia (así que si $x$ es de Cauchy real, a continuación, $x$ es un uncountably conjunto infinito) y permítanme definir "el Dedekind reales" como Kuratowski pares ordenados $\{\{L\}, \{L,R\}\}$ con $L$ e $R$ una partición de los racionales con cada elemento de $L$ menos de cada elemento de $R$ y no vacío y $L$ no tener racional sup (así que si $x$ es un Dedekind real, a continuación, $x$ es un conjunto finito).

Debido a que estas dos construcciones de dar canónicamente isomorfo objetos matemáticos piensan de estas construcciones como dar "la misma respuesta" y nunca alboroto acerca de la versión de los números reales que están utilizando. Supongo que debe haber alguna lógico subyacente principio detrás de por qué esto funciona, pero ahora me doy cuenta de que yo no lo saben. ¿Qué es?

Tengo la esperanza de que hay algunos teorema de la lógica que dice que si me formular una conjetura (en la teoría de conjuntos ZFC, por ejemplo) sobre todo completo arquímedes ordenó a los campos y, a continuación, puedo demostrar la conjetura para el Cauchy reales, entonces de alguna manera se puede deducir que también es cierto para el Dedekind reales. Pero tal y como está esto no es cierto. Por ejemplo, un estúpido conjetura sobre todo completo arquímedes ordenó campos es que son todos iguales (como se establece en ZFC) a la de Cauchy reales. Esta conjetura es falsa en general, válido para el Cauchy reales, y no es cierto para el Dedekind reales. Por otro lado, es obvio que una "sensible" (no sé de una definición formal de este) pregunta matemática completa de arquímedes ordenó campos será cierto para el Cauchy reales iff es cierto para el Dedekind reales. ¿Qué sería de una prueba parece? Qué se necesita para dar algún tipo de algoritmo que cambia de un cierto tipo de prueba acerca de Cauchy reales a Dedekind reales? En lo que a la generalidad hace este tipo de cosas de trabajo? ¿Cuáles son los ingredientes? Tenga en cuenta que no puedo garantizar que mi prueba trata de Cauchy reales sólo como un completo arquímedes ordenó campo, aunque "sé en mi corazón" que no hay ninguna ventaja en realidad empezando a buscar en los elementos de los elementos.

Aquí está una pregunta relacionada. Tomar una normal matemática conjetura que menciona a los reales (por ejemplo el de Birch y Swinnerton-Dyer conjetura, que menciona L-funciones, que son funciones de los números complejos, y de un número complejo se define generalmente a ser un par de reales). Cada matemático sabe que no importa en absoluto si utilizamos el Dedekind reales o la de Cauchy reales. Entonces, ¿qué es la prueba de que BSD es cierto para la L-funciones integradas mediante el Dedekind reales iff es cierto para la L-funciones integradas mediante el Cauchy reales? A mí me parece que podríamos intentar usar el párrafo anterior, pero sólo una vez que sabemos que alguna versión de BSD puede ser formulada mediante cualquier completar arquímedes ordenó campo, y que la formulación resultante es "una sensata pregunta de matemáticas". Mi sensación es que este es "evidente"; sin embargo, yo preferiría oír algún principio general que puedo invocar de los que realmente tienen que decir algo coherente acerca de por qué esto es cierto.

De fondo

Hace un par de años me he encontrado este tipo de pregunta muy confuso para pensar, y habrían descartado como trivial o simplemente dijo que las cifras reales eran únicas de hasta un único isomorfismo y probablemente eran "los teoremas de la lógica", que resuelve estos problemas. Pero tengo una mejor comprensión de lo que la matemática es ahora, y me doy cuenta de que no estoy muy seguro acerca de cómo funciona todo esto. Aquí es un intento de explicar lo que yo creo que son las entrañas de la primera pregunta.

Digamos que yo estoy haciendo "normal" de las matemáticas, y me encuentro con un "normal" matemática conjetura que menciona los números reales, de alguna manera, por ejemplo, la conjetura de que pi + e es trascendental, o algunos mucho más complicado conjetura que menciona los números reales de forma implícita, como la de Birch y Swinnerton-Dyer conjetura (que menciona los números complejos, que se construyen a partir de los números reales). Ningún matemático me iba a preguntar si me refiero a la de Cauchy reales o la Dedekind reales en mi conjetura. Digamos que me decida a ofrecer $1.000.000 para una prueba de mi conjetura.

Ahora dicen algunos menear el que está en el ordenador a prueba de formalización me pregunta qué fundamentales del sistema que estoy usando cuando hago mi conjetura, así que me digo "ZFC teoría de conjuntos". Y luego dicen que los números reales tienen dos definiciones en ZFC teoría de conjuntos, uno con secuencias de Cauchy y uno como Dedekind cortes, y que los números reales fue mi conjetura acerca de? Soy un matemático, así que sé que no importa, así me dicen "el Cauchy reales" sólo para callarlos. Al día siguiente me doy cuenta de que yo podría haber sido más inteligente, así que me tome la molestia de reformular mi conjetura de modo que en lugar de la mención explícita de "números reales" voy a hacer en una conjetura sobre todo completo arquímedes ordenó campos (el hecho de que esta reformulación es posible se podría considerar como una definición de "normal" a las matemáticas en el párrafo anterior). Por supuesto que "sabe" que esto no cambia mi conjetura de cualquier manera substancial. Me decido a entrar en contacto con el wag para decirles mi cambio de punto de vista, así que llame a ellos, pero antes de que pueda obtener una palabra, que muy emocionada me dicen que ellos dejaron su nuevo aprendizaje profundo AI ZFC equipo generador de prueba del sistema en toda la noche trabajando en mi conjetura acerca de la de Cauchy reales, y se ha logrado con una prueba que es mil millones de líneas de largo e incomprensible, pero cada línea es formalmente revisados para ser válido en ZFC, por lo que debe ser el correcto, y puede que tenga la $1,000,000. Le explico que ahora he cambiado mi conjetura y ahora es una declaración sobre todas completar arquímedes ordenó campos, y les pregunto si su prueba de obras para todos los campos. "Definitivamente, no!" responden. "Mi AI necesidades para generar pruebas de cosas triviales como 3 < 5 para probar su conjetura, y lo hace pensando en la definición de < en el Cauchy reales y viene con una prueba de 3 < 5, que es específico de Cauchy reales. Mi AI también hace un montón de otras cosas raras con Cauchy reales, y algunos de ellos no entiendo en absoluto; probablemente sólo formas extrañas de la prueba estándar de hechos acerca completa de arquímedes ordenó a los campos, pero no puedo estar seguro". "Bien, ¿todo lo que haces por el Cauchy reales tienen algunos analógicas para la Dedekind reales?" Me pregunte. Y ellos contestan "no sé, todo lo que puedo garantizar es que mi prueba es válida en la teoría de conjuntos ZFC, y por lo tanto me han demostrado su conjetura en su forma de Cauchy. Usted está reclamando que la de Cauchy forma completa y el de arquímedes ordenó campo de formulario, obviamente, son equivalentes, por lo tanto me han demostrado su más general de la conjetura".

Creo que el wag debe ser el correcto, pero no entiendo los detalles de por qué.

Answer 1

Aquí es una manera de hacer esto en ZFC. Ideas similares de trabajo en un montón de otros contextos.

En primer lugar, dado cualquier conjunto $A$ en el universo de los conjuntos de $V$ podemos formar el conjunto teórico universo $V(A)$ imitando el acumulado de jerarquía, donde los elementos de $A$ son considerados los átomos. Empezar con $V_0(A) = A$, en sucesores $V_{\alpha+1}(A) = V_\alpha(A) \cup \mathcal{P}(V_\alpha(A))$, en los límites de $V_\delta(A) = \bigcup_{\alpha<\delta} V_\alpha(A)$. (Se debe tener cuidado para distinguir cuidadosamente los átomos. De hecho, $A$ va a aparecer en algún punto de la pura parte de $V(A)$ y no queremos confundir a este puro $A$ con el conjunto de átomos de $A$. Afortunadamente, es que se entiende bien cómo hacerlo formalmente. Ya que estos detalles son irrelevantes, no voy a mencionar más de ellos.)

Si $A$ tiene una estructura adicional, decir que es un completo ordenado de campo, luego de que la estructura va a aparecer rápidamente en la jerarquía ya que agregamos todos los posibles subconjuntos en cada paso. Por lo tanto, $A$ tiene la misma ordenada estructura de campo que tenía originalmente en $V$. Incluso la integridad lleva desde los subconjuntos de $A$ en $V(A)$ provienen de los subconjuntos de la original $A$ en $V$. La diferencia es que $A$ no tiene ningún interna de la estructura en $V(A)$ ya que no podemos inspeccionar el núcleo de los átomos: todo lo que podemos decir acerca de los átomos es si dos átomos iguales o no. El principal trampolín es que si $A'$ es cualquier isomorfo estructura de a $A$, entonces el isomorfismo de $A'$ e $A$ ascensores de manera única a un isomorfismo de $V(A')$ e $V(A)$!

Normal enunciado matemático acerca de $A$ en $V$, dicen BSD, tiene perfecto sentido acerca de la estructura de $A$ en $V(A)$. Esto es debido a que BSD no hace ninguna mención en absoluto de las vísceras de los elementos de $A$. Además, si BSD tiene de la original $A$ en $V$ a continuación, se va a celebrar de la $A$ en $V(A)$ , ya que tienen idéntica estructura externa. Debido a $V(A')$ es isomorfo a $V(A)$, el isomorfismo asegura que BSD tiene de $A'$ en $V(A')$. Luego, por la inversa de la razón se explicó anteriormente, BSD tiene de la original $A'$ en $V$.

Para que esta transferencia de $A$ a $A'$, que sólo es necesario que BSD era normal enunciado matemático en el sentido de que se basa sólo en la estructura externa de $A$ e $A'$ y no en las entrañas de estas estructuras. Si alguna prueba de BSD para $A$ se basa en gran medida en las entrañas de $A$ es irrelevante, ya que la declaración de probado no hace mención de la estructura interna de $A$ y, por tanto, transferir a cualquier isomorfo estructura como se describió anteriormente.

Answer 2

He aquí una de baja tecnología manera de mirar, que me parece perfectamente convincente.

Deje que C sea posible la implementación de los reales a través de secuencias de Cauchy y D ser algunos de implementación de los reales a través de Dedekind cortes. Aquí C es "realmente" algo así como una tupla consistente en el conjunto de los reales, de la relación correspondiente a la suma, etc.; D es una tupla con (supuestamente) equivalente cosas implementa de manera diferente.

Sea P(X) es la proposición de que X es una tupla de la talla correcta, y que, cuando se considera como una aplicación de los números reales, X satisface el Abedul-Swinnerton-Dyer conjetura. Tenemos una prueba, quizás una extraña incomprensible que depende de la implementación de uno-de P(C), en ZFC.

Yo reclamo que (de nuevo, en ZFC) P(C) si P(D). Croquis de la prueba: 1. Hasta el isomorfismo canónico sólo hay un único ordenado de campo. 2. C y D se completa ordenó campos. 3. Por lo tanto, existe un isomorfismo entre C y D; de hecho, podemos incluso escribirlo. 4. Podemos usar esto para construir un isomorfismo entre el C de los números complejos y las D de los números complejos y, a continuación, entre C L-funciones y D del L-funciones, y C de curvas elípticas y las D curvas elípticas, y así sucesivamente para cada objeto requiere que el estado de la BSD conjetura. 5. Si tenemos una específica de la curva elíptica sobre D, estos isomorphisms el rendimiento de su equivalente de más de C (y viceversa); que emparejar los grupos de puntos racionales en los dos casos, mostrando que tienen el mismo rango; que par correspondiente de L-funciones, demostrando que tienen el mismo orden de cero en s=1. 6. Y hemos terminado.

Nada de esto requiere que estos isomorphisms ser aplicado a la prueba de la P(C). Que la prueba puede ser como C-específicos como te gusta. Lo que el isomorphisms mostrar es que las cosas BSD dice que son iguales a salir la misma manera, sin embargo de implementar los números reales.

¿Cómo sabemos que realmente podemos construir este montón de isomorphisms? Al pensar acerca de lo que los objetos que se necesitan para el estado de BSD conjetura, y cómo los creamos nosotros mismos, y tomando nota de que nada en el proceso se preocupa por "detalles de implementación" de los números reales. Si estás lo suficientemente seguro de su memoria, usted podría hacer esto "negativamente" al señalar que si cuando estabas aprendiendo sobre curvas elípticas y L-funciones de un profesor había dicho algo así como "y, por supuesto, esto es cierto debido a que el número 1 es la misma cosa como el conjunto que contiene sólo el conjunto vacío" que le han dado cuenta y ha horrorizado. De lo contrario, usted puede (tediosamente pero de forma directa) ir a través de los libros de texto y comprobar que las construcciones son todos los "cuerdos".

EDITADO para añadir:

Aunque me quedo con todo lo anterior, no puedo evitar la sensación de que Kevin ya sabe todo lo que estoy y por lo tanto no responde bastante a la pregunta que ha significado para preguntar. Permítanme poner algunas palabras en la boca de Kevin:

Sí, sí, por supuesto. Cada matemático que piensa acerca de esto en todos tiene algo así como que la imagen mental. Pero lo que realmente justifica que breezy la confianza de que ese gran montón de isomorphisms está realmente allí? Entiendo que se siente obvio que ninguno de la maquinaria que se necesita para el estado de algo, como la BSD conjetura "dependen de los detalles de implementación". Pero este es el tipo de cosa que los matemáticos son buenos en conseguir equivocado. No fue hasta el siglo 20 que nos dimos cuenta de cómo muchos extras axiomas que usted realmente necesita para agregar a Euclides sistema de hacer las pruebas en los Elementos de rigor. El axioma de comprensión probablemente parecía obviamente inocuo hasta Bertrand Russell preguntó si el conjunto de no-auto-membered conjuntos de afeita a sí mismo. Más isomorfismo-y ejemplo: parece obvio transparentemente que un conjunto $X$ es del mismo tamaño que $\{\{x\}\,:\,x\in X\}$, pero esto no funciona si usted trabaja en NF en lugar de ZFC. Tal vez hay algún detalle de implementación nadie ha notado que estaban asumiendo. ¿Cómo podemos estar seguros?

De nuevo, personalmente estoy muy seguro de que yo lo hubiera notado si algún detalle de implementación fueron resbaló en cualquier cosa "normal" de las matemáticas (o al menos, estoy tan seguro como que yo lo hubiera notado cualquier otro tipo de brecha en las pruebas, yo no creo que haya nada especial aquí), y muy seguro de que si me he perdido uno de los muchos muchos otros matemáticos, algunos de ellos mucho más inteligente que yo, que han leído los mismos libros de texto y ha sido a la misma conferencias habría dado cuenta. Pero creo que Kevin le pregunta si hay algún principio simple que hace que sea obvio , sin ninguna necesidad, ya sea para confiar en ese tipo de cosas, o para revisar en detalle a través de todo lo que en los libros de texto, y quiero ser claro que esta respuesta no pretende dar una; mi sensación es que no podía ser, posiblemente, uno, más de lo que podría haber algún principio simple que hace que sea obvio (con las mismas restricciones) de que no hay otra lógica agujeros en los mismos libros de texto, y esencialmente por la misma razón.

Answer 3

Desde un punto de vista lógico, esto no tiene nada que ver con el platonismo, ZFC, o el acumulado de jerarquía. $ \def\nn{\mathbb{N}} \def\zz{\mathbb{Z}} \def\q{\mathbb{Q}} \def\rr{\mathbb{R}} \def\cc{\mathbb{C}} $

Casi todos razonable de los enunciados matemáticos acerca de los reales son en realidad sobre cualquier estructura que satisface la axiomatization de los reales. Es claro que este axiomatization puede expresarse de muy débil fundacional de los sistemas, ya sea o no compatible con ZFC. Por supuesto, si sólo están familiarizados con ZFC, entonces usted puede mirar cómo van las cosas en ZFC (como François G. Dorais ha explicado). Pero ZFC es realmente un arenque rojo aquí.

El Cauchy-secuencia o Dedekind-cortar las construcciones sólo sirven para demostrar la existencia de una estructura que satisface la axiomatization de los reales. Desde entonces, nos podemos olvidar literalmente exacta de los objetos en la construcción (que es precisamente lo $∃$-intro hace), porque sólo estamos interesados en los teoremas relativos a la axiomatized propiedades (interfaz) de los reales. Del mismo modo cuando se construye el complejo de los números de una ecuación cuadrática de la extensión de $\rr$ por algún objeto $i$ tal que $i^2 = -1$ en el campo de la extensión de $\rr(i)$, es completamente irrelevante lo que los objetos son "utilizados" como elementos en el campo extensión. Por ejemplo, usted podría usar lineal de los polinomios en $X$ con la adición y la multiplicación modulo $X^2+1$. Todo lo que importa es que usted consigue un algebraicamente cerrado campo que contiene una isomorfo copia de los reales. Relatedly, podemos asumir que $\rr ⊆ \cc$ porque nosotros sólo nos preocupamos de la axiomatized propiedades de $\rr$, que se conservan bajo isomorfismo. Uno podría manualmente conservar el original de la $\rr$ a los de un subconjunto de sus cuadrática extensión, pero que es necesaria para la razón de que me acaba de decir.

Mucho antes de $\rr$, incluso para llegar de $\nn$ a $\zz$ cualquiera de los dos podría codificar un número entero como una señal con una magnitud, o como una clase de equivalencia de pares de $\nn$. ¿Importa? No, porque todos los que nos interesan son ciertas propiedades.

Si alguien afirma haber demostrado algo acerca de reales, pero su prueba debe mirar a la aplicación concreta de reales, entonces que alguien que simplemente ha tomado un tonto ruta. Esto es similar a la expresión de un algoritmo en el JABÓN lenguaje ensamblador para la IBM 650, en lugar de ponerlo en al menos un lenguaje de alto nivel, apoyando a los bucles y las llamadas a la función. Un buen software es siempre escrito para separar la interfaz de la aplicación, y también lo son las buenas pruebas (ya sea en un sistema formal o no).

Considere la posibilidad de ejemplos sencillos. El IVT (teorema del valor intermedio) se refiere a funciones continuas en un cerrado delimitado intervalo de los reales. Para decirlo directamente, debemos ser capaces de cuantificar sobre funciones reales. Esto sólo debe 3º-el fin de la aritmética (desde un real puede ser, naturalmente, codificada como una función de los naturales, que es de 2º orden, por lo que una función de reales a reales sería 3er orden). Más generalmente, si usted quiere hablar acerca de los objetos específicos de orden superior de los tipos en los que el 0-tipo de orden es el de los naturales, entonces todo lo que necesita es la asociación de propietarios (de orden superior de la aritmética). Prácticamente cualquier moderno fundamentales del sistema para que las matemáticas pueden interpretar de la asociación de propietarios, a saber, que hay una computable de la traducción de las pruebas de asociación de propietarios en el sistema que la interpreta. Se puede comprobar que Z la teoría de conjuntos, por ejemplo, interpreta la asociación de propietarios, y si quieres algo más interesante conjuntos es posible que desee cierta forma de CA (axioma de elección).

De todos modos, IVT es comprobable en HOA utilizando sólo el axiomatization de los reales. Y así se EVT (teorema del valor extremo), MVT (valor medio teorema), Dini del teorema para funciones reales, ... sólo Se necesita ir más allá de HOA si desea controlar arbitraria tipos, como son en general los espacios métricos, espacios topológicos y así sucesivamente. Incluso entonces, cada estructura matemática de interés serán definidos a través de axiomatization, y todas las pruebas basadas en que axiomatization solo sería, por supuesto, llevar a todas las estructuras.

Hay una posible pega, es decir, ¿qué pasa si la prueba fue encontrado por un equipo, en lugar de un ser humano? Así, si la prueba es realmente sólo un lío enorme, entonces la solución más fácil ha sido proporcionada por Gareth McCaughan: podemos añadir una prueba de la equivalencia de la deseada teorema acerca de Cauchy-reales con el mismo teorema indicado para cualquier isomorfo copia de los reales, y por lo tanto, podemos tratar el dado generada por ordenador de la prueba como una caja negra. De manera más general, podemos escribir un programa de computadora $P$ tal que, dado cualquier declaración de $Q$ acerca de un modelo de $M$ de algunos de segundo orden axiomatization $A$ que sólo se utiliza el $M$ a través de su interfaz de $A$, $P(Q)$ salidas, una prueba de que $Q(M)$ implica $Q(N)$ para cada modelo de $N$ de $A$. Entonces no tenemos manualmente la construcción de este tipo de pegado en las pruebas, pero puede ejecutar un único programa que $P$ en cualquier teorema que 'wag' lanza en usted, y no sólo para aquellos a punto de reales. Los detalles exactos dependen de la elegida fundamentales del sistema, pero Z la teoría de conjuntos, ciertamente, es suficiente.

Answer 4

No hay necesidad de ir tan lejos como $\mathbb{R}$ para un ejemplo de este tipo de fenómenos. Incluso $\mathbb{Z}$ podría definirse como conjuntos diferentes en ZFC. Deje $\omega$ ser la primera infinito cardenal, como de costumbre

Opción 1: podríamos tomar a $\mathbb{Z}=(\omega\times \{0\})\cup ((\omega-\{0\})\times \{1\}),$ donde la segunda coordenada nos dice si el entero es positivo o negativo.

Opción 2: Interruptor segundo coordenadas.

Ahora, si nuestra teoría es ZFC, sin duda podemos crear declaraciones acerca de $\mathbb{Z}$ que son verdaderas para una de nuestras construcciones, y falsa para otros. (Por ejemplo, considere la declaración: La identidad aditiva de $\mathbb{Z}$ es un par ordenado cuya segunda coordenada es el conjunto vacío.)

Lo que hace BSD y otras preguntas que a menudo evitar este tipo de problema, es que ellos se expresan en un lenguaje de los anillos, o topológicas de los anillos, etc... donde los objetos derivados (como la analítica de rango) será invariante cuando se extiende a un lenguaje que permite múltiples copias idénticas de la estructura en la mano. (Cuando no está inmediatamente claro si es o no una definición o de una propiedad bien definidos/invariante para el contexto dado, buen matemático de la escritura requiere que el punto de esto.) Y, sí, es obvio que BSD sólo requiere de $\mathbb{R}$ a la conclusión de $\mathbb{Q}$ en el de arquímedes lugar. (Obvio, porque de lo contrario, han requerido de más en la declaración de BSD.) Y, sí, se puede mostrar que la analítica de filas y algebraicas filas son conservados por isomorphisms entre las terminaciones.

Answer 5

Veo un montón de confusión en los comentarios acerca de lo que están haciendo y por qué. La forma en que yo interpreto tu pregunta es esta:

Dado el hecho de que los enunciados matemáticos acerca de (o relacionados) los reales se pueden dividir en dos clases,

A. aquellos que son "isomorfismo invariantes" (su verdad no depende de que modelo de los reales que estés utilizando) y

B. aquellos que no lo son,

lo que es una forma de decidir si un determinado enunciado pertenece a la clase a o de clase B?

Voy a ofrecer una sociológico en lugar de criterio matemático: si la declaración es (como en tu ejemplo) un problema abierto con un premio de $1,000,000, o de lo contrario es un famoso/pregunta importante, usted puede estar bastante seguro de que es de la clase a, o, posiblemente (pero con mucha menor probabilidad) de que en la clase B, pero que el enunciado de la pregunta que se haría muy claro cuál es el modelo de los reales se refiere.

El resto de la posibilidad, de que la pregunta contiene algún tipo de oculto ambigüedad que hace que pertenecen a la clase B, pero en una forma que no esté expresado formalmente, parece esencialmente inconcebible para mí en el contexto de los conocidos problemas abiertos. La razón es que la mayoría de los matemáticos son Platónicos que, cuando piensan en los números reales, creo que de algún ideal de conjunto de la satisfacción de las propiedades que saber el real en los números de satisfacer, y nunca la preocupación de sí mismos con los molestos cuestiones fundamentales sobre el modelo actual de los reales que subyacen a la discusión. Para estas personas, las declaraciones de clase a son los únicos interesantes declaraciones (y en algún sentido Platónico, el único "real", " declaraciones acerca de los reales. Un modelo dependiente de la pregunta, es probable que no se merecen ser etiquetados como importante, salvo en algunos explícita fundamentos de matemáticas contexto en el que el modelo de la dependencia sería una parte explícita de la declaración del problema.

Como para un mecanismo formal de que usted está preguntando acerca de la distinción entre clase a y clase B, declaraciones, como han dicho otros, es necesario comprobar que la declaración de voluntad de sobrevivir a ser pasado a través de un isomorfismo. Cómo se hace en la práctica para algo como BSD probablemente sería muy tedioso (y en mi opinión no merece la pena), pero a un nivel intuitivo, si la declaración está escrita en un "coordinar" libre de manera que no apela a Dedekind cortes u otros objetos que se utilizan en un determinado realización de los reales, que es probablemente lo suficientemente bueno como para declarar que "es obvio", y luego ir y hacer algo más productivo con tu tiempo. Bueno, al menos lo sería para un Platónico como yo.