No he encontrado ningún método útil para resolver el siguiente problema: Demostrar que si $x,y,z\in\mathbb{Z}$$x^3+y^3=3z^3$$xyz=0$.
Fuente: http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=56&t=382377
Respuestas
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La técnica utilizada para demostrar que $x^3 + y^3 + z^3 = 0$ no tiene soluciones no triviales en $\mathbb{Z}(\sqrt{-3})$ es también aplicable a mostrar que la $x^3 + y^3 = 3z^3$ no tiene soluciones no triviales (en $\mathbb{Z}(\sqrt{-3})$).
De hecho, este aparece (con prueba) en la sección 13.5 como Teorema de 232 en el excelente libro "Una Introducción a la Teoría de Números", por Hardy & Wright, 5ª Edición (tengo la Edición India, por lo que podría ser un poco diferente de la suya).
Aquí está una foto que me las arreglé para raspar (a pesar de que la notación es bastante antiguo, y que se necesita partes del resto del libro para hacer sentido de ella).
Cody
Puntos
101
Supongamos que $x$, $y$, y $z$ son relativamente primos los números enteros. A continuación, $z$ o, incluso, dicen, $x$ es incluso.
Si $z$ es incluso, $x^3+y^3\equiv 2 \mod{4}$, mientras que el $3z^3 \equiv 0 \mod{4}$.
Si $x$ es incluso, $x^3+y^3\equiv 1 \mod{4}$, mientras que el $3z^3 \equiv 3 \mod{4}$.
En ambos casos, el lado izquierdo no es igual a la RHS. Por lo tanto, la ecuación de Diophantine no admite entero triplete.
