Las aplicaciones del teorema de Cayley-Hamilton

Question

El teorema de Cayley-Hamilton suele presentarse en los cursos estándar de licenciatura en álgebra lineal como un resultado importante. Recordemos que dice que cualquier matriz cuadrada es una "raíz" de su propio polinomio característico.

Pregunta. ¿Tiene este teorema aplicaciones importantes?

Al no ser algebraísta, sólo conozco una aplicación de este resultado que yo llamaría importante; es muy básica para el álgebra conmutativa, la geometría algebraica y la teoría de los números. Es la siguiente. Dejemos que un anillo unital conmutativo $A$ se incrustará en un campo $K$ . Considere el conjunto de elementos de $K$ que son integrales sobre $A$ es decir, son raíces de un polinomio con coeficientes en $A$ con el coeficiente de avance igual a 1. Entonces este conjunto es una subrutina de $K$ .

Answer 1

Cayley-Hamilton puede ser útil en el álgebra conmutativa. En relación con su estrecha conexión con el lema de Nakayama, como se menciona en un comentario de Qiaochu (véase también Wikipedia ), véase por ejemplo el desarrollo dado en el proyecto Stacks aquí . Entre las consecuencias que me parecen algo geniales y quizás hasta un poco sorprendentes a primera vista, tenemos

• Dejemos que $M$ sea un módulo finitamente generado sobre un anillo conmutativo. Entonces cualquier mapa de módulo suryente $M \to M$ es un isomorfismo.

Answer 2

En teoría de control, se utiliza para definir conceptos muy importantes de observabilidad y controlabilidad de sistemas lineales.

http://www.ece.rutgers.edu/~gajic/psfiles/chap5traCO.pdf

Answer 3

El teorema de Cayley-Hamilton puede utilizarse para demostrar la fórmula de Gelfand (cuyas pruebas habituales se basan en el análisis complejo o en las formas normales de las matrices).

Dejemos que $A$ ser un $d\times d$ matriz compleja, dejemos que $\rho(A)$ denotan el radio espectral de $A$ (es decir, el máximo de los valores absolutos de sus valores propios), y que $\|A\|$ denotan la norma de $A$ . (Fija tu norma matricial favorita).

La fórmula de Gelfand : $\rho(A) = \lim_{n \to \infty} \|A^n\|^{1/n}$ .

Prueba: La elección de la norma no afecta a la validez del resultado, por lo que hay que elegir una norma de operador. La existencia del límite $r:=\lim_{n \to \infty} \|A^n\|^{1/n}$ es una simple consecuencia de la submultiplicatividad de las normas (por Lemma de Fekete ). La existencia de vectores propios (complejos) implica $r \ge \rho(A)$ por lo que la parte no trivial es demostrar que $r \le \rho(A)$ .

Del teorema de Cayley-Hamilton se deduce que $$\|A^d\|\le C \rho(A) \|A\|^{d-1},$$ donde $C>0$ es una constante que depende únicamente de $d$ ; este es un ejercicio sencillo -- o vea esto puesto por Ian Morris para los detalles.

Aplicando esta desigualdad a $A^n$ y tomando la $n$ -ésima raíz obtenemos: $$\|A^{dn}\|^{1/n}\le C^{1/n} \rho(A) \|A^n\|^{(d-1)/n}.$$ Hacer $n \to \infty$ obtenemos $r^d \le \rho(A) r^{d-1}$ concluyendo así la demostración de la fórmula de Gelfand.

Referencia :

Jairo Bochi , Desigualdades para invariantes numéricos de conjuntos de matrices , Álgebra Lineal Aplicada 368 (2003), 71--81.

Answer 4

Esto puede ser demasiado trivial para lo que tienes en mente, pero siempre me ha parecido útil Cayley-Hamilton para calcular los vectores propios de una matriz cuadrada dados los valores propios, sin tener que resolver ninguna ecuación adicional.

Supongamos que se tiene una matriz cuadrada $A$ en $\mathbb{C}$ , digamos, y que has determinado su polinomio característico $$ \chi_A(z) = (z-\lambda_1)(z-\lambda_2) \cdots (z-\lambda_N) $$ donde los valores propios $\{\lambda_i\}$ puede repetirse. Entonces, si eliges cualquier vector $v$ Cayley-Hamilton te dice que $$ (A-\lambda_1)\cdots (A-\lambda_{i-1})(A-\lambda_{i+1})\cdots (A-\lambda_N) v $$ se encuentra en el núcleo de $(A-\lambda_i)$ para todos $i$ . (Podría ser cero, por supuesto, así que hay que jugar un poco a veces).

Answer 5

Una buena aplicación es la de Ilya Bogdanov respuesta de mathoverflow que demuestra en menos de $3$ líneas que los elementos de $\text{GL}(n,\mathbb F_q)$ tienen un orden como máximo $q^n-1$ .