¡Produciendo objetos finitos forzando!

Question

Es un hecho trivial de que obligar a no puede producir conjuntos finitos de la tierra de los objetos del modelo. Sin embargo, hay situaciones, donde podemos utilizar obligando a demostrar la existencia de objetos limitados con algunas propiedades. Por ejemplo, considere el siguiente resultado de Sela (me enteré de este ejemplo a partir de la respuesta dada por el Prof. Komjath en Forzar como una herramienta para probar teoremas):

Teorema (Sela) existe un número finito de $K_4$libre de gráfico que, cuando los bordes de color por $2$ colores, siempre contiene una monocolor triángulo.

Sela, la prueba del teorema es simplemente la siguiente: Se construye una forzando la extensión que añade un gráfico de $X$ con la misma propiedad, pero con $\aleph_0$ colores. A continuación, $X$ tiene el borde para colorear de la propiedad para $2$ colores, así. A continuación, utilizando el teorema de compacidad, $X$ debe contener un número finito de subgrafo $Y$ con la misma propiedad. Como obligar a no crear nuevos grafos finitos, $Y$ ya está presente en el modelo de terreno. Por Gödel, $ZFC$ demuestra que no hay un gráfico.

Ahora mi pregunta es que si hay más ejemplos de la anterior especie. Para ser más precisos:

Pregunta 1. Hay otros ejemplos para la producción de algún objeto finito $Y$ (con algunas propiedades) de la siguiente manera:

1) para proporcionar una adecuada extensión genérica en la que hay un objeto infinito $X$ con las propiedades necesarias,

2) Por la compacidad (u otros dispositivos), podemos concluir que debe ser un subconjunto finito $Y$ de % de $X$ con las mismas propiedades,

3) Lo que podemos concluir que el objeto debe existir en el modelo de terreno.

Comentario 1. Lo que más me interesa ejemplos en los que no se sabe (o es difícil) para producir tal objeto finito directamente

Observación 2. Parece que algún tipo de partición teoremas son de este tipo: es posible obtener algún tipo de finito de partición de teoremas (como finito teorema de Ramsey) utilizando infinitas versiones de ellos. Así que si podemos probar el infinito versión de estos partición de teoremas, entonces se han producido ejemplos de la clase (hay casos en los que se puede demostrar infinito partición de teoremas mediante forzar).

Pregunta 2. Es Sela del resultado, el primer no-trivial ejemplo de una respuesta a la pregunta 1? Hay otros que no trivial construcciones de la anterior clase antes de él?

Observación 3. Aquí por no trivial, me refiero a la estrategia anterior es, en cierto sentido, el único método para producir la necesaria objeto finito.

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Pregunta 3. Hay resultados de este tipo demostrado en otras partes de las matemáticas, aparte de la lógica?

Por supuesto, Sela, el resultado es de este tipo, pero el ejemplo dado por Hamkins está en la lógica matemática.

Answer 1

Aquí hay otro ejemplo.

El teorema es: cada finito de orden parcial puede ser encontrado como un suborden del orden parcial de Turing grados.

Por un lado, se puede demostrar mediante la realización de una prioridad de la construcción, un detallado argumento de la construcción de los grados directamente. Por otro lado, se puede obligar a añadir countably muchos mutuamente genérico Cohen reales $x_n$, y, a continuación, señalar que finito de sumas de ellos muestran que cualquier poder finito conjunto de álgebra se puede encontrar en los grados. Pero cada finito de orden parcial es un suborden de un número finito de poder del orden establecido. Por último, la existencia de un determinado patrón como en el de Turing grados es un $\Sigma^1_1$ de la propiedad y por lo tanto absoluta para el modelo de terreno por Shoenfield absolutismo. Así que ya existía un patrón en el modelo de terreno.

Un argumento similar se encuentra todos los contables de la orden como un suborden de Turing grados. En ambos casos, lo que la argumentación directa asciende a la construcción de lo suficientemente genéricos grados. Con forzar, simplemente tenemos que ir todo el camino a un genérico real, y esto simplifica las cosas.