Posibilidad de un curso de geometría diferencial elemental

Question

Tengo que admitir que no estoy seguro de que esta sea una pregunta apropiada. Está relacionada con la investigación en educación matemática, pero no directamente con las matemáticas.

He comprobado que, al hablar con físicos e ingenieros profesionales, la mayoría de ellos encuentran alguna utilidad a la geometría diferencial hoy en día. Un físico teórico llegó a decir que no se podía "hacer nada serio sin ella". Sin embargo, en la mayoría de las escuelas (al menos en las pocas que he visitado) la geometría diferencial está reservada a los estudiantes de posgrado en matemáticas y a los estudiantes de matemáticas avanzadas. Ninguna de las escuelas que he visitado tiene una clase de geometría diferencial elemental, por ejemplo, de un estilo similar al de la secuencia de cálculo. Algunas de las personas con las que hablé también expresaron muchas dificultades para aprenderla por primera vez por su cuenta. Yo mismo estoy tomando un curso avanzado de posgrado en Relatividad General, y una buena parte de la dificultad de los estudiantes estriba en la incomprensión de los conceptos fundamentales de la geometría diferencial.

Para cubrir la geometría diferencial de forma rigurosa, por supuesto se necesita un poco de matemáticas avanzadas, incluyendo topología y análisis. Pero en las universidades se imparten clases de cálculo elemental, la mayoría de las cuales no son terriblemente rigurosas, pero son suficientes para los propósitos de los no matemáticos. El álgebra lineal, el cálculo multivariante y un poco de ecuaciones diferenciales serían (en mi opinión) suficientes para impartir un curso para ingenieros. Se podría argumentar que primero hay que conocer la teoría de los colectores, pero yo lo veo como algo análogo a estudiar cálculo sin conocer realmente la estructura de $\mathbb{R}$ .

Desde mi punto de vista, la geometría diferencial es la extensión lógica del cálculo. Teniendo en cuenta su enorme (y creciente) impacto en las disciplinas aplicadas, parece lógico tener un curso de ella para ingenieros y físicos, que yo pondría inmediatamente después del último semestre de cálculo (suponiendo que los estudiantes hayan tenido también álgebra lineal).

Así que mi pregunta es la siguiente: ¿Existen casos concretos, ya sean libros de texto o cursos en una universidad, de clases de geometría diferencial impartidas con la intención de ser útiles para ingenieros y científicos, que asuman sólo conocimientos básicos de cálculo y álgebra lineal? (Obviamente, existen libros como "Geometría diferencial para físicos", pero realmente me refiero a algo que utilizarían los matemáticos que imparten un curso de este tipo). Si es así, ¿qué éxito han tenido estos cursos/libros? Si no es así, o si los intentos han sido infructuosos, ¿hay alguna razón particular por la que no sea factible/común?

Answer 1

Creo que uno de los grandes problemas es que, aparte de la física teórica (teoría de cuerdas, relatividad general), la mayoría de los matemáticos no son muy conscientes de para qué usan la geometría diferencial los ingenieros y los científicos. Esto hace ciertamente difícil escribir/planificar un curso en ese sentido.

Fue hace poco cuando escuché una charla de Alain Goriely me enteré de que los biólogos también se preocupan por la geometría diferencial. Pero durante la charla hubo bastantes teoremas sobre curvas en el espacio tridimensional de los que nunca había oído hablar, y eso que me gano la vida con las EDP de geometría y la relatividad general. Esto al menos proporciona un punto de datos aislado para ilustrar lo anterior, sobre cómo los matemáticos normalmente no saben lo que es o no es importante para las aplicaciones a otros campos.

Lo ideal sería que dicho curso/libro de texto fuera preparado por alguien con gran familiaridad interdisciplinaria.

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En cuanto a la geometría diferencial "como extensión natural del cálculo", creo que puedes tener más suerte si acudes a los libros de texto más antiguos, donde en lugar de llamarla geometría diferencial, la asignatura se llama simplemente "cálculo avanzado". Bastantes libros están escritos entonces con la vista puesta en el matemático aplicado (pero, por supuesto, soy incapaz de dar recomendaciones).

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Permítanme añadir que actualmente estoy supervisando un curso de grado de tercer año en la Universidad de Cambridge sobre geometría diferencial. Se ajusta a la mitad de tu propuesta: no asume más que el cálculo básico y el álgebra lineal (en parte debido a la forma curiosa en que el plan de estudios de matemáticas de Cambridge es más bien escaso en análisis); el conjunto actual de notas de clase está escrito por Gabriel Paternain (si estás interesado puedes intentar pedirle una copia). Desgraciadamente, tal y como funciona el programa de la licenciatura, el curso no atraerá a muchos no-matemáticos, aparte de los futuros físicos teóricos. Así que no puedo comentar lo bien que funciona para los ingenieros y otros científicos.

El curso se divide esencialmente en cuatro partes:

1. Definición de los manifiestos como submanifolds en el espacio euclidiano, difeomorfismos y mapas suaves, teorema de Sard y grado mod 2.
2. Curvas y superficies en el espacio. Marco de Frenet, curvatura, torsión de curvas; desigualdad isoperimétrica. Primera y segunda forma fundamental, curvatura media y gaussiana.
3. Cálculo de variaciones, geodésicas, superficies mínimas.
4. Más sobre la curvatura, hasta llegar a Gauss-Bonnet.

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Una nota más: acabo de recordar que Gary Gibbons imparte un curso titulado "Aplicaciones de la geometría diferencial a la física". No es necesariamente elemental, pero ciertamente tiene muchas aplicaciones. Al ser impartido desde el punto de vista de un polímata, los ejemplos que se dan en los apuntes abarcan más terreno del habitual.

Answer 2

Veo que alguien ya lo ha mencionado en los comentarios, pero creo que merece ser dejado como respuesta.

Aquí en la UGA tenemos un curso regular de pregrado que se ajusta a su descripción aproximada. Se trata de un curso de licenciatura en geometría diferencial. Los prerrequisitos son el cálculo multivariable y el álgebra lineal (¡es difícil ver cómo se puede conseguir algo menos que eso!). Especialmente, el análisis real es no un prerrequisito para el curso: de hecho, para obtener una licenciatura en matemáticas en la UGA sólo hay que cursar uno de (a) análisis real (b) análisis complejo (c) este curso de geometría diferencial. (Para ser honesto, no me entusiasma que no se requiera el análisis real, pero ciertamente divago).

Este curso lo suele impartir Ted Shifrin, el profesor más distinguido y veterano de nuestra facultad y alguien con más años de experiencia de los que probablemente le gustaría que cuantificara en el tema de la geometría diferencial (su director de tesis fue Chern). En concreto, el curso lo imparte ahora Ted, a partir de un borrador preliminar de un libro escrito por él. La página web del curso es aquí desde el que se pueden encontrar enlaces al texto del curso, el programa de estudios, los conjuntos de problemas, etc.

Answer 3

Aunque no está pensado para físicos o ingenieros, en Edimburgo tenemos un curso de tercer año (en una licenciatura de cuatro años) sobre geometría diferencial que se centra en superficies incrustadas en $\mathbb{R}^3$ que no utiliza más que el cálculo (incluido el cálculo de varias variables y las ecuaciones diferenciales ordinarias) y el álgebra lineal. El curso es moderno porque utiliza el lenguaje de las formas diferenciales (en $\mathbb{R}^n$ (por lo que no son necesarios los colectores).

La lista de las clases del curso (al menos la última vez que lo impartí, que fue en 2007-8) es la siguiente:

1. Superficies
2. Campos vectoriales
3. Formas únicas e integrales de línea
4. Formas diferenciales
5. Marcos móviles y formas de conexión
6. Las formas fundamentales
7. Curvatura
8. El significado de la curvatura
9. Isometría y Teorema Egregio de Gauss
10. Geodésica
11. Integración
12. Superficies mínimas
13. Teorema de Stokes
14. El teorema de Gauss-Bonnet

Se imparte en 16 franjas de 50 minutos. El curso fue diseñado por mi colega Toby Bailey y lo siguen entre 40 y 60 estudiantes cada año, por lo que parece ser bastante popular. Creo que es una muy buena introducción a la geometría diferencial y terminar con Gauss-Bonnet es una buena manera de completar el curso.

Answer 4

Este curso era habitual en el siglo XIX. El Traité d'analyse de Picard o el Cours d'analyse mathématique de Goursat son libros de texto para un curso de este tipo (incluyendo Cálculo y Ecuaciones Diferenciales).

Answer 5

Me gusta el libro "Métodos geométricos de física matemática" de Bernard Schutz:

http://books.google.co.uk/books?id=HAPMB2e643kC

Yo diría que el planteamiento se acerca bastante a lo que pedía el PO. También soy un gran fan de "Un primer curso de relatividad general" del mismo autor:

http://books.google.co.uk/books?id=qhDFuWbLlgQC