El Caballero de la Tour es un matemático muy conocido problema de ajedrez. Hay una gran cantidad de investigación relativos a esta cuestión en dos o más dimensiones finitas de las tablas. Aquí, me gustaría abordar este problema en el infinito infinito de la junta, $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$.
La primera cuestión es cómo construir un caballero de la gira en el plano infinito. De una forma intuitiva es construir localmente mediante la imitación de la del rey espiral gira en $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$ directorio de la siguiente manera:
Resumiendo, un caballero puede seguir al rey del patrón mediante la cumplimentación de un caballero de la gira en un $n\times n$ bloque y, a continuación, pasar a la siguiente bloque en la espiral de la orden. Por ejemplo, en la foto de abajo cada cuadrado representa un cierto $n\times n$ parte de la $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$ plano y la ruta azul es un caballero recorrido realizado en este bloque en particular. Está conectado a un punto en el vecino bloques con una jugada de caballo.
Por supuesto, la existencia de un buen número natural $n$ debe ser revisado. Sin embargo, parece razonable esperar que una lo suficientemente grande $n$ (que hay muchas caballero giras con diferentes puntos inicial y final) hay algunas excursiones que pueden servir como bloques de construcción de los caballeros del rey-como la espiral. (En realidad sólo un par de rectas y derechoorientado a $n\times n$ tours con los adecuados puntos inicial y final son necesarios. El resto de los bloques será redundante hasta el isomorfismo).
Aquí, la primera pregunta que surge es:
Pregunta 1. Hay (un ejemplo concreto de) un caballero de la gira en el plano infinito?
En el caso especial, ¿ la ya descrita estrategia para la construcción de un caballero tour localmente en realidad? Si sí, ¿cuál es el mínimo requerido $n$?
Suponiendo que una respuesta afirmativa a la pregunta anterior, el siguiente paso es especular sobre la estructura general de todos los posibles caballero tours en el plano infinito:
Pregunta 2. Hacer todo infinito del caballero de tours en el plano infinito surgir como una combinación de local finito del caballero de visitas en una cuadrícula de bloques del mismo tamaño (cuyo local del caballero tours están conectados a su vecino homólogos del rey a pasar de moda)?
Precisamente, es cierto que para cualquier caballero del tour $t$ sobre el plano infinito $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$, hay una (probablemente grande) número natural $n$ y una partición de $p$ de la superficie en $n\times n$ bloques en una cuadrícula tal que la restricción de $t$ en cualquier bloque en $p$ es $n\times n$ caballero del tour en particular, que el bloque de sí mismo? Llamamos a la partición de $p$ una localización de el caballero de la tour $t$ en una cuadrícula de $n\times n$ bloques.
Si no, ¿qué es un ejemplo de un infinito caballero de la gira que no puede ser visto como una combinación de los locales del caballero de visitas en una cuadrícula de finito bloques del mismo tamaño (no importa lo que la resolución de la gird es)?
Si sí, lo es: $$min\{n_t|~t~\text{is a knight's tour of $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$ & there is a localization of}~t~\text{into a grid of}~n\times n~\text{blocks}\}$$ En mejores palabras, ¿cuál es la mejor resolución posible de una rejilla para que un caballero de la gira del plano infinito, $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$?
Como una observación que vale la pena mencionar que no todas las particiones del plano infinito en $n\times n$ bloques están en la forma de una perfecta cuadrícula. Por ejemplo, ver la foto de la izquierda en el siguiente diagrama, que es una partición del plano a través de $n\times n$ bloques diferentes a partir de una cuadrícula de $n\times n$ bloques (derecha):
Así que, en aras de la exhaustividad, uno puede reducir la cuadrícula de la partición de la condición en la pregunta 2 a sólo una partición del plano infinito en $n\times n$ bloques:
Pregunta 3. ¿Cuál es la respuesta a la pregunta 2 si nos limitamos a considerar las particiones del plano infinito en $n\times n$ bloques, en lugar de esas particiones que organizar los bloques en una retícula perfecta?
La pregunta podría hacerse en un sentido más general así:
Pregunta 4. Es el caballero de la gira en el plano infinito siempre descomponible en finito del caballero tours? Precisamente, es cierto que para cada uno de los caballeros del tour $t$ sobre el plano infinito no es una partición de $p$ de la superficie en finito plazas (no necesariamente compuesto de bloques en una cuadrícula o del mismo tamaño) de forma tal que la restricción de $t$ a cualquier bloque en $p$ es finito, caballero de la gira así?
La actualización. Gracias a Joel respuesta y Eric contraejemplo, las preguntas 1 y de 2 a 4 se han respondido de forma positiva y negativa respectivamente. Por lo tanto, sabemos que hay abierto del caballero tours de la ilimitada plano infinito, $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$, de diferente naturaleza, es decir, aquellas que se forman de local del caballero tours finitud de los aviones y los totales de los viajes que no surgen de esta manera. En este sentido la respuesta a la pregunta del título es: "a Veces, pero no siempre!"
Observación. Como un dato adicional, vale la pena mencionar que hay algunos simples infinito sub-espacios de $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$-plano, que no admite un caballero de la gira, mientras que algunos otros. Por ejemplo, es fácil ver que uno puede obtener de un caballero tour por $\mathbb{N}\times\mathbb{N}$ sub-plano a través de una cuadra por cuadra de la construcción a través de Joel $5\times 5$ bloques introdujo en su respuesta. Sin embargo, es intuitivamente claro que el infinito de la tira (es decir, $[-n,+n]\times\mathbb{Z}$ para algunos $n$) no admitir a un caballero de la gira porque el caballero en un sub-espacio debe cubrir ambos infinitos lados de la tira en un ida y vuelta de movimiento y se debe pasar a la parte central de la franja infinitamente muchas veces que es imposible, simplemente porque después de un número finito de pasajes no habrá ningún espacio vacío a la izquierda en la región central. De todos modos, parece una pregunta interesante para clasificar todos infinito sub-espacios de $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$-plano en que se admite un caballero de la gira. El mismo ya ha sido hecho para todos finito rectángulo en forma de sub-espacios de $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$-plano, es decir, $m\times n$- las tablas.
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