¿Alguna investigación matemática implica resolver ecuaciones funcionales?

Question

Esto es un tanto frívola pregunta, así que no importa si el proyecto se cierra. Una de las categorías de Olimpiada estilo de problemas (por ejemplo, en el IMO) es la solución de varios de las ecuaciones funcionales, tales como los que se indican en este folleto. Mientras puedo ver el valor pedagógico en hacer un par de estos problemas, nunca vi el punto en la práctica de este tipo particular de problema mucho, y ahora que estoy un poco más viejo y más sabio todavía no veo en ninguna parte que este tipo de problemas aparecen de una manera importante en las matemáticas modernas.

(Hay algunas excepciones notables, como la funcional de la ecuación de definición de las formas modulares, pero el genérico funcional de la ecuación problema tiene mucho menos la estructura de un grupo que actúa a través de un cocycle. Estoy hablando de un artificioso problema como la búsqueda de todas las funciones $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ satisfactorio

$$f(x f(x) + f(y)) = y + f(x)^2.$$

Cuando esta condición nunca aparecen en la "vida real"?!)

Es esta impresión exacta, o hay ramas de las matemáticas, donde estos tipos de problemas que aparecen en realidad? (Yo estaría interesado particularmente si la afección, como la anterior, consiste en función de la composición de una manera no trivial.)

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Edit: Gracias a todos por sus respuestas. Como darij señala correctamente en los comentarios, no he enunciado de la pregunta específicamente suficiente. Soy consciente de que hay un montón de interesantes de las matemáticas que puede ser formulada como resolver ciertos agradable las ecuaciones funcionales; el funcional ecuaciones quería preguntar acerca específicamente la realidad artificial, como la de arriba. Implícita la pregunta: "en relación a otros tipos de Olimpiada de problemas, habría sido la pena gastar un montón de tiempo de resolución de las ecuaciones funcionales?"

Answer 1

Con el aditivo de la combinatoria, a menudo busca el conteo de los patrones como una progresión aritmética $a, a+r, \ldots, a+(k-1)r$. Al hacerlo, uno es llevado naturalmente a expresiones tales como $$ {\bf E}_{a,r \in G} f_0(a) f_1(a+r) \ldots f_{k-1}(a+(k-1)r)$$ para algunos finito grupo abelian $G$ y complejas funciones con valores de $f_0,\ldots,f_{k-1}$. Si estas funciones están limitadas en magnitud por $1$, entonces la expresión anterior es también limitada en magnitud por uno. ¿Cuándo igualdad de sostener? Precisamente cuando uno tiene una ecuación funcional $$ f_0(a) f_1(a+r) \ldots f_{k-1}(a+(k-1)r) = c$$ para algunas constantes $c$ de la magnitud de los $1$. Uno puede resolver esta ecuación funcional, y descubrir que cada una de las $f_j$ los $f_j(a) = e^{2\pi i P_j(a)}$ para algunos polinomio $P_j: G \to {\bf R}/{\bf Z}$ de grado en la mayoría de las $k-2$. Esta observación puede ser considerada como el punto de partida para el estudio de Gowers la uniformidad de las normas, y que uno puede realizar un análisis similar para iniciar la comprensión de muchos otros patrones con el aditivo de la combinatoria.

En ergodic theory, cocycle ecuaciones, de las cuales el coboundary ecuación

$$ \rho(x) = F(T(x)) - F(x)$$

es el ejemplo más sencillo, juegan un papel importante en el estudio de las extensiones de los sistemas dinámicos y sus cohomology. A pesar de la aparentemente algebraica de la naturaleza de tales ecuaciones, sin embargo, a menudo se resuelve estas ecuaciones lugar por medios analíticos (y, en particular, no por la OMI técnicas), por ejemplo mediante el uso de la teoría espectral o la mezcla de las propiedades de la rotación $T$, y la explotación de la capacidad o de la regularidad de las propiedades de $\rho$ o $F$. (La solución de tales ecuaciones, por cierto, es un aspecto crucial de la ergodic theory analógica del estudio de la Gowers la uniformidad de las normas mencionadas anteriormente, como el desarrollado por el Anfitrión de Kra y Ziegler.)

Volviendo a la más "artificial" las ecuaciones funcionales de la Olimpiada tipo, tenga en cuenta que estas ecuaciones suelen utilizar (a) la estructura aditiva de el dominio y el rango, (b) la estructura multiplicativa de el dominio y el rango, y (c) el hecho de que el dominio y el rango son idénticos (de modo que uno puede realizar composiciones como $f(f(x))$). En la mayoría de los objetos matemáticos, al menos una de estas características está ausente o es irrelevante, lo que ayuda a explicar por qué tales ecuaciones son relativamente raros en la investigación matemática. Por ejemplo, en muchas ramas de análisis, el rango de funciones (típicamente ${\bf R}$ o ${\bf C}$) por lo general no tiene la razón natural a ser identificado con el dominio de las funciones (que puede `accidentalmente" ser ${\bf R}$ o ${\bf C}$, pero a menudo es más naturalmente visto en un contexto más general de la categoría, como la de medir los espacios, espacios topológicos, o colectores), por lo que (c) es generalmente ausente. Por el contrario, en la dinámica, (c) es prominente, pero (a) y (b) no lo son. Los únicos campos que vienen a mi mente, naturalmente, que se muestran todas las tres de (a), (b), (c) (sin también automáticamente exhibiendo mucho más rica algebraica de la estructura, tales como el anillo de homomorphism estructura) son dinámicas complejas, álgebra universal, y ciertos tipos de criptografía, pero no tengo la suficiente experiencia en estos campos proporcionan algunos ejemplos interesantes.

Answer 2

No sé si esto realmente cuenta (ya que no sé si esta funcional de la ecuación es realmente útil...), pero en el papel

R. M. Dicker, Un conjunto independiente de los axiomas de un campo y una condición para que un grupo sea el grupo multiplicativo de un campo, Proc. Londres Matemáticas. Soc., 18, 1968, pág. 114-124

usted puede encontrar el siguiente teorema:

Deje $A$ ser un grupo abelian (escrito multiplicatively). Lindan con un nuevo elemento $0$ para obtener el conjunto $F$. Suponga que existe una función de $f : F \to F$ tal que para todos los $x,y \in F$ con $y \neq 0$:

1) $f(0) = 1$

2) $f(f(x))=x$

3) $f(f(x) f(y)) = y f(x f(y^{-1}))$

A continuación, $F$ puede ser hecho en un campo tal que $A = F^*$ e $f(x) = 1 - x$.

Aquí hay otro ejemplo de álgebra que se puede encontrar en el artículo

Zoran Sunik, Un Ideal Funcional de la Ecuación con un Anillo, Mathematics Magazine 77 (2004) 4, 310--313.

Si $R$ es una parte integral de dominio, a continuación, los mapas de $f : R \to R$ solución de la ecuación funcional

$f(xz - y) f(x) f(y) + 3 f(0) = 1 + 2 f(0)^2 + f(x) f(y)$

son exactamente las funciones características de los ideales de $R$.

También funcional de las ecuaciones que describen subrings y el primer ideales están allí.

Answer 3

Se utiliza mucho en la teoría de la información: Ver esto.

Answer 4

La transición universal de Feigenbaum de un sistema dinámico (como el mapa logístico) al comportamiento caótico a través de la cascada de duplicación de períodos implica la ecuación funcional $$g(x)=-\frac1\lambda g(g(\lambda x))$$ con las condiciones límite $$g(0)=1,\qquad g'(0)=0,\qquad g''(0)

Answer 5

Creo que es principalmente un problema de la mayoría de la Olimpiada de estilo de los problemas, en lugar de las ecuaciones funcionales -usted puede escribir extraño e irreal ecuaciones de cualquier tipo, algebraica, la ODA, la PDE, integral, etc. Posiblemente, la razón de que el "éxito" de las ecuaciones funcionales en las Olimpiadas es que son de alguna manera más elemental -no hay necesidad de derivados o incluso de cálculo, y por lo tanto son más un tema adecuado para estas competiciones. Sin embargo, funcional importante ecuaciones aparecen de forma natural en todas partes; la conjugación de los problemas, para empezar, en el Álgebra o en los Sistemas Dinámicos.