¿Espacios con la misma homotopía y grupos de homología que no son equivalentes a la homotopía?

Question

Un común precaución acerca del teorema de Whitehead es que necesita el mapa entre los espacios; es fácil dar ejemplos de espacios con isomorfo homotopy los grupos que no son homotopy equivalente. (Ver hay dos sin homotopy espacios equivalentes con igual homotopy grupos?). Es sin duda también es cierto que el par (homotopy grupos de homología de grupos) no es un invariante, pero, ¿puede alguien dar ejemplos? Que es, estoy en busca de espacios de $X$ e $Y$, de modo que $\pi_n(X) \simeq \pi_n(Y)$ e $H_n(X;\mathbb{Z}) \simeq H_n(Y; \mathbb{Z})$ pero $X$ e $Y$ todavía no (débilmente) homotopy equivalente.

(Más fácil ejemplos son los preferidos, por supuesto).

Answer 1

Siguiendo el comentario de John, uno puede considerar$S^2$ - fibraciones sobre$S^2$. Hay dos de ellos ya que tales fibraciones se clasifican por$\pi_1(\textrm{Diff}^{+}(S^2))=\mathbb{Z}_2$. Uno de ellos es$S^2\times S^2$, mientras que el otro puede ser la suma conectada de$\mathbb{CP}^2$ y$\overline{\mathbb{CP}}^2$. Estos dos espacios tienen la misma homología. Tienen los mismos grupos de homotopía ya que ambos forman la base de un$S^1$ - fibración con espacio total$S^2 \times S^3$. Sin embargo, las formas de intersección no son equivalentes y, por lo tanto, no son equivalentes a la homotopía.

Answer 2

Tomar un número finito de grupo $G$, un finito-dimensional $\mathbb{Q}$-espacio vectorial $V$ y dos representaciones de acciones de $G$ que no equivalentes, pero los espacios de coinvariants ambos tienen la misma dimensión, digamos cero.

El primer ejemplo concreto que viene a mi mente es $G=Z/4$, $V=Q[i]$, con las dos acciones donde el generador actúa por $-1$ o $i$. Estas dos acciones no son ni siquiera equivalente de acuerdo con el exterior de automorfismos de $G$.

Deje $n \geq 3$ ser un entero impar y considerar la Eilenberg-Mac Lane espacio de $K(V,n)$, de la que hereda dos $G$-acciones. Los dos Borel-construcciones $EG \times_G K(V,n)$ tienen el mismo homotopy grupos. Pero el $n$th homotopy grupos no isomorfos cuando se la considera como una $\pi_1$-módulo; de manera que estos dos espacios no son homotopy equivalente.

La homología puede ser calculada a partir de la Leray-Serre espectral de la secuencia de la fibration $EG \times_G K(V,n) \to BG$. Recuerdan $E^{2}_{pq}= H_p (G; H_p (K(V;n)))$.

Para empezar, $\tilde{H}_* (K(V,n), \mathbb{Z}) =V$ si $*=n$ e $0$ lo contrario. Por lo tanto $E^{2}_{pq}=0$ si $q=0$ (a continuación, es el grupo de homología $H_p(G;Z)$ o $(p,q)=(0,n)$, caso en el cual se $V_G=0$. Así, las proyecciones de $EG \times K(V,n) \to BG$ son homología de equivalencias.

Finalmente tenga en cuenta que el Eilenberg Mac Lane espacios puede ser realizado como abelian topológicos, grupos y $G$ actos fijación del punto de base. Así, los mapas de $EG \times_G K(V;n)) \to BG$ tienen secciones, que son la homología de equivalencias así. Así que la construcción se produce una homología de equivalencia entre dos espacios con la forma abstracta isomorfo homotopy grupos.

EDIT: ya que existe una homología de equivalencia entre estos dos espacios, se deduce que la homología con los coeficientes de la cohomology anillos y las acciones de la álgebra de Steenrod para todos los números primos son isomorfos.

Answer 3

Una manera bastante fácil de obstrucción es la acción de grupo fundamental en la homotopy grupos. Este es un ejemplo donde la homotopy grupos son isomorfos como resumen de los grupos, pero no la preservación de la acción de grupo fundamental.

Formar un fibration encima de un círculo con fibra de una cuña de esferas $S^2\vee S^2$. Es decir, tomar la cuña, de la cruz con un intervalo de, e identificar los extremos por un homotopy equivalencia de la cuña. Homotopy equivalencias están parametrizados por $GL_2(\mathbb Z)$, la acción en la homología. El homotopy tipo de espacio, recuerda el monodromy como la acción de grupo fundamental en la homotopy grupos. El homotopy grupos son el de la universalización de la cobertura, que no depende de la elección de monodromy. Calcular la homología por la Serre espectral de la secuencia. Esto implica la homología de $\mathbb Z$ actuando en $\mathbb Z^2$ por el monodromy. Si el monodromy es hiperbólica, la homología se desvanece y el espacio de la homología del círculo. Por lo tanto dos diferentes hiperbólico matrices de dar espacios con isomorfo homotopy y homología de grupos.

En una dirección completamente diferente, hay ejemplos de pares de simplemente conectado espacios que la Postnikov truncamientos son equivalentes, pero a la inversa de los límites de sus torres de Postnikov no se, pero creo que estos ejemplos tienen que ser bastante grande.