¿En qué medida se puede recuperar una variedad de su grupo de homeomorfismos?

Question

Pregunta. Supongamos que $M$ es un circuito cerrado conectado topológico colector y $G$ es de su grupo de homeomorphisms (con compacto-abierta la topología). Qué $G$ (como un grupo topológico) únicamente determinan $M$?

Uno puede hacer la misma pregunta donde consideramos a $G$ como un resumen de grupo (haciendo caso omiso de la topología), reemplazar topológica de la categoría por la suave categoría (aquí se puede equipar $G=Diff(M)$, con una fina estructura de un Frechet colector), variando el grado de suavidad, dejando caer la compacidad de la asunción, la recuperación de $M$ hasta homotopy, etc.

No sé cómo responder a alguna de estas preguntas. Yo no sé si se puede recuperar la dimensión de $M$ de su grupo de homeomorphisms. En dimensiones bajas, o asumiendo que el $M$ tiene un localmente simétrica métrica de Riemann, y si $dim(M)$ es dado, sé algunas cosas. Por ejemplo, entre 2 dimensiones de los colectores se puede recuperar $M$ de $G$ desde $G/G_0$ es la clase de asignación de grupo $Mod(M)$ de % de $M$ y uno puede decir que el género de las $M$ desde el máximo rango de libre abelian subgrupos de $Mod(M)$. Mismo, por ejemplo, cerrado hiperbólico colectores con el no-isomorfo isometría grupos. Sin embargo, dado que, por ejemplo, dos cerrados hiperbólico de 3 colectores $M_1, M_2$ con trivial isometría grupos, no sé cómo distinguir $M_i$'s, por ejemplo, $Homeo(M_i)$ (el problema se reduce a una pregunta acerca de homeomorphism grupos de la unidad de la bola de desplazamientos con $\pi_1(M_i)$, $i=1,2$, pero no veo cómo resolverlo).

Actualización: los Resultados citado por Igor y Martin dar la respuesta completa en topológico y suave categoría en la mejor forma posible (mucho más de lo que esperaba!). La respuesta positiva es también conocido en la simpléctica categoría, pero, al parecer, está abierto para el contacto de los colectores y de sus grupos de contactomorphisms.

Otra referencia en el buen caso, me envió por Beson Farb es el libro por Augustin Banyaga, "la estructura de La clásica diffeomorphism de los grupos".

Answer 1

La respuesta es: Sí, se puede recuperar $M$ si se trata de un compacto de colector. Véase J. V. Whittaker: En Isomorfo grupos y homeomórficos espacios, Anales de Matemáticas de 1963.

EDICIÓN en Realidad, se sabe mucho más, ver, por ejemplo Tomasz Rybicki Revista: Proc. Amer. De matemáticas. Soc. 123 (1995), 303-310. MSC: Primaria 58D05; Secundaria 17B66, 22E65, 57R50 MathSciNet revisión: 1233982

Y las referencias en él...

OTRA EDICIÓN

Muy diferente a prueba de una mayor teorema (en realidad, un gran conjunto de teoremas) de Whittaker (en realidad, de Whittaker papel parece estar bastante mal escrito) está dada por Matatyahu Rubin en Rubin, Matatyahu(3-SFR) En la reconstrucción de los espacios topológicos de sus grupos de homeomorphisms. Trans. Amer. De matemáticas. Soc. 312 (1989), no. 2, 487-538.

Answer 2

Esto es más alargada comentario bastante, pero me gustaría señalar que mientras Igor referencia, en principio, da una respuesta completa, en realidad, la lectura de cualquier información específica acerca de $M$ (tales como su dimensión) de algunos invariantes topológicos de $Diff(M)$ es probable duro.

Por otra parte, si uno se relaja las categorías un poco, a continuación, la respuesta a Misha pregunta puede incluso ser negativo! Específicamente, uno puede preguntarse si la homotopy tipo de monoid de auto homotopy equivalencias de $M$ determina la $M$ hasta homotopy tipo. En realidad yo no sé la respuesta a esto, pero si uno se relaja la categoría aún más y se ve en la racional homotopy tipo , a continuación, en contraste con la diffeomorphism caso de que la respuesta es en realidad NO.

Específicamente, es más fácil de calcular que la racional homotopy tipo de la identidad componente $Aut(M)$ de la monoid de auto homotopy equivalencias de igual rango biquotient de Mentira grupos $M=G//H$ que satisface Halperin de la conjetura (que dice que en este caso $H^\ast (M,\mathbb Q)$ no tiene negativos grado derivaciones) está determinada por la racional homotopy y homología de grupos de $M$. En este caso, $Aut(M)$ racionalmente es equivalente a un producto de un número finito de extraño dimensiones, esferas y uno puede escribir una explícita (si algo feo) fórmula para las dimensiones de las esferas que se muestran en términos de $\pi_\ast(M)\otimes \mathbb Q$ e $H_\ast(M,\mathbb Q)$.

Pero hay un montón de ejemplos de tales biquotients en dimensiones por encima de 5, que tienen distintas racional tipos, pero el mismo racional homotopy y homología. Por ejemplo, uno puede tomar la $G//T$ donde $G$ se conecta simplemente a la Mentira de grupo y $T\le G\times G$ es un toro de el mismo rango que el rango $G$. Todos biquotients satisfacer Halperin de la conjetura por lo que la fórmula se menciono anteriormente se aplica. Es entonces claro que racional homología y homotopy grupos de $G//T$ está totalmente determinado por $G$, pero el racional de $G//T$ puede ser diferente dependiendo de la incrustación $T\to G\times G$. Hay infinitamente muchos ejemplos de este tipo ya en la dimensión 6 de la forma $(S^3\times S^3\times S^3)//T^3$. Aún así, en este caso uno puede leer por ejemplo, la dimensión de $M$ a partir del conocimiento de la racional homotopy grupos de $Aut(M)$ pero no sé cómo conseguir la fórmula para un general cerrado simplemente conecta el colector de $M$ (y ni siquiera estoy seguro de si es posible).

Answer 3

Para el buen caso, el resultado es:

• Takens, F. (1979). Caracterización de una estructura diferenciable por su grupo de diffeomorphisms. Bol. Soc. Brasil. Mat., 10, 17-25. MR552032

y la respuesta es "Sí".

La integridad, la Takens teorema es:

Teorema Deje $\Phi \colon M_1 \to M_2$ ser un bijection entre dos liso $n$-colectores tal que $\lambda \colon M_2 \to M_2$ es un diffeomorphism iff $\Phi^{-1} \circ \lambda \circ \Phi$ es un diffeomorphism. A continuación, $\Phi$ es un diffeomorphism.

Answer 4

Supongo que la respuesta a esta pregunta depende de la cantidad de información que usted está dispuesto a permitir a ti mismo para extraer de $G$. Desde su colector está conectado, $G$ actúa transitivamente sobre él, así que si $x \in M$ es cualquier punto, y $G_x$ el estabilizador de $x$ en $G$, entonces no es un homeomorphism $G/G_x \cong M$. Por lo $M$ puede ser completamente reconstruido a partir de los $G$.

Para ser justos, sin embargo, esto presupone que usted tiene una muy buena comprensión de $G$ y sus subgrupos, tal vez más de lo que es razonable. Además, este no es el tipo de información que se conserva al pasar a la asignación del grupo de clase (por ejemplo, una superficie es claramente no homeomórficos un cociente de su asignación de grupo de clase).