¿Cuáles son los beneficios de ver una gavilla desde la perspectiva del "espace étalé"?

Question

Aprendí la definición de una gavilla de Hartshorne es decir, como (co)fundición de la categoría de conjuntos abiertos de un espacio topológico (con morfismos dados por inclusiones) a, digamos, la categoría de conjuntos. Aunque bastante abstracto al principio, esto parece ser (para mí) una visión intuitiva; en particular, todas las manipulaciones y construcciones con gavillas encajan muy bien en este esquema.

Sé que la antigua vista de una gavilla en $X$ fue considerarla como una triple $$ (E, X, \pi ) $$ donde $ \pi : E \to X$ es un homeomorfismo local, y para que la "gavilla de secciones" de este mapa $ \pi $ es la gavilla en el sentido funerario descrito anteriormente.

Este punto de vista tiene mucho menos sentido para mí, pero tengo que preguntarme si eso se debe simplemente a que lo aprendí en segundo lugar. Sin embargo, también me hace preguntarme si me estoy perdiendo algo, por lo que mi pregunta es la siguiente.

¿Qué son algunos (editar:) específico beneficios de ver una gavilla en este sentido? ¿Qué se gana al considerar una gavilla como el espacio de la vida sobre $X$ ?

Answer 1

Permítanme ampliar el comentario de Yosemite Sam. Los retrocesos son más fáciles de definir si ves una gavilla como un homeomorfismo local. Por otro lado, los avances son más fáciles de definir si ves una gavilla como un functor de valor fijo.

Supongamos que tenemos un mapa continuo $f: X \to Y$ de los espacios topológicos.

Dado que una gavilla $F$ en $Y$ visto como un homeomorfismo local $ \pi : F \to Y$ podemos simplemente tirar $ \pi $ de vuelta a lo largo de $f$ para obtener un mapa en $X$ se demuestra fácilmente que también es un homeomorfismo local. Esta es la gavilla de retirada $f^* F$ .

Por otra parte, dado que una gavilla $E$ en $X$ visto como un functor $ \mathrm {Open}(X)^{op} \to \mathbf {Set}$ (donde $ \mathrm {Open}(X)$ es el conjunto de subconjuntos abiertos de $X$ ), podemos simplemente componer $E$ con el functor $ \mathrm {Open}(Y) \to \mathrm {Open}(X)$ que toma imágenes inversas a lo largo $f$ . Esto da un valor fijo al functor en $ \mathrm {Open}(Y)$ se demuestra fácilmente que también es una gavilla. Esta es la gavilla de empuje $f_* F$ .

Por lo tanto, hay ventajas en probar la equivalencia entre las dos definiciones desde el principio.

Answer 2

Para mí, la respuesta obvia es que se trata de la góndola de un premarco. Si miras la construcción de la gavilla asociada a una pre-gavilla en, digamos, Hartshorne, pasa a través de la construcción espacial de étalé sin decírtelo específicamente, y para mí hace que la construcción sea algo desmotivada.

A saber, si $P$ es un presheaf en $X$ y luego tomar el tallo $P_x$ en cada punto de $X$ te da una $X$ -indexado conjunto, o como Tom diría arriba, un conjunto sobre $X$ . Uno puede entonces definir una topología sobre $ \biguplus_ {x \in X}P_x$ para que la proyección natural $ \biguplus_ {x \in X}P_x \to X$ es un homeomorfismo local en la forma obvia, es decir, si $U$ es un vecindario en $X$ y $s \in P(U)$ Entonces $(s,U) = \lbrace germ_x(s) \mid x \in U \rbrace $ es un vecindario básico. Esta topología hace que inmediatamente $(s,U)$ homeomórfico a $U$ y hace $s$ una sección sobre $U$ a través de $x \mapsto germ_x(s)$ para $x \in U$ . La gavilla de secciones de $p$ es la gavilla asociada de $P$ . Encuentro esta construcción completamente desmotivada sin pasar por los espacios étalé.

Añadido. Otra buena razón es que es conveniente para definir las acciones de un grupo topológico en una gavilla. Si $G=(G_0,G_1)$ es un groupoide, un $G$ -sheaf es un espacio étalé $p:X \to G_0$ sobre $G_0$ junto con un mapa de acción $G_1 \times_ {d,p} X \to X$ satisfaciendo axiomas obvios. Esto es más difícil de expresar en la gavilla como un lenguaje functorial. Un teorema de Joyal y Tierny dice que cada topo de Grothendieck es equivalente al topo de las gavillas en un groupoide local.

Adiciones adicionales Desde el punto de vista del espacio étalé está claro que los espacios de cobertura son de hecho elementos del topos $Sh(X)$ de las poleas en $X$ y que el grupo fundamental de $Sh(X)$ (en el sentido de Barr y Diaconescu) es el habitual grupo fundamental de $X$ si $X$ está localmente simplemente conectado.

Por supuesto que no es difícil ver que la cobertura de espacios corresponde a las poleas constantes localmente, pero no creo que esta sea la forma en que la gente piensa en la cobertura de espacios.

Answer 3

Una ventaja es que te da una representación geométrica de los topos de las gavillas sobre un espacio:

Dado un topos $E$ , $E$ es equivalente a la subcategoría completa de $Top/E$ la categoría de topoi sobre $E$ que consiste en morfismos etales de topoi. La equivalencia envía un elemento $e \in E$ al morfismo $E/e \to E$ donde $E/e$ es la rebanada de topos.

Los topos son generalizaciones de espacios, y para ver un espacio como un topo, enviamos un espacio $X$ a sus topos de gavillas $Sh(X)$ . Morfismos geométricos de cuento $Sh(X) \to Sh(Y)$ están en bijección con los homeomorfismos locales $X \to Y$ (cuando Y está sobrio.). Por lo tanto, esto significa que si $F \in Sh(X)$ el homeomorfismo local $E(F) \to X$ que corresponde a $F,$ visto como un mapa de topoi no es nada más que el morfismo geométrico etale $Sh(X)/F \to Sh(X)$ . En particular, esto implica que $Sh(X)/F \cong Sh(E(F)).$