¿Por qué aparecen las ecuaciones de Pell en las fórmulas pi de Ramanujan?

Question

Al responder a esta Pregunta sobre el MSE sobre la ecuación Pell $x^2-29y^2=1$ Me di cuenta de que ciertas soluciones fundamentales aparecían en la famosa fórmula pi de Ramanujan.

I. Dada la unidad fundamental $\displaystyle U_{29} =\tfrac{5+\sqrt{29}}{2}$ y,

$$\big(U_{29}\big)^3=70+13\sqrt{29},\quad \text{thus}\;\;\color{blue}{70}^2-29\cdot\color{blue}{13}^2=-1$$

$$\big(U_{29}\big)^6=9801+1820\sqrt{29},\quad \text{thus}\;\;\color{blue}{9801}^2-29\cdot1820^2=1$$

$$2^6\left(\big(U_{29}\big)^6+\big(U_{29}\big)^{-6}\right)^2 =\color{blue}{396^4}$$

encontramos esos enteros en todo Ramanujan,

$$\frac{1}{\pi} = \frac{2 \sqrt 2}{\color{blue}{9801}} \sum_{k=0}^\infty \frac{(4k)!}{k!^4} \frac{29\cdot\color{blue}{70\cdot13}\,k+1103}{\color{blue}{(396^4)}^k}$$

Los mismos números enteros aparecen en fórmulas pi relacionadas en este puesto .

II. Algo similar ocurre con la fórmula de Chudnovsky. Sabía que H. Chan explorado $x^2-3dy^2 = 1$ en relación con $j(\tau)$ . Dada la unidad fundamental para $n=3d=3\times163=489$ ,

$$U_n =u+v\sqrt{489} =7592629975+343350596\sqrt{489} = \big(35573\sqrt{3}+4826\sqrt{163}\big)^2$$

así que $u^2-489v^2=1$ . Las unidades tenían una forma común para $d=19,43,67,163$ , para el último ser,

$$U_n = \left(\tfrac{1}{18}(\color{brown}{640320}-6)\sqrt{3}+4826\sqrt{163}\right)^2$$

y algunos experimentos dieron sus frutos,

$$3\sqrt{3}\big(U_n^{1/2}-U_n^{-1/2}\big)+6 = \color{brown}{640320}$$

$$3\sqrt{3}\big(U_n^{1/2}-U_n^{-1/2}\big)+18 = \color{brown}{2^2\cdot3^3\cdot7^2\cdot11^2}$$

$$\sqrt{163}\big(U_n^{1/2}+U_n^{-1/2}\big) = \color{brown}{2^2\cdot19\cdot127\cdot163}$$

y la fórmula de Chudnovsky,

$$12\sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{(6k)!}{k!^3(3k)!} \frac{\color{brown}{2\cdot3^2\cdot7\cdot11\cdot19\cdot127\cdot163}\,k+13591409}{(\color{brown}{640320}^3)^{k+1/2}} = \frac{1}{\pi}$$

Lo mismo ocurre con el otro $d$ por ejemplo,

$$U_{201} = \left(\tfrac{1}{18}(\color{brown}{5280}-6)\sqrt{3}+62\sqrt{67}\right)^2$$

así que no es una casualidad. Además, estos $U_n$ son denominadores en Fórmulas Ramanujan-Sato pi de nivel 9 .

Q. Cualquiera sabe la razón por la que una unidad fundamental $U_{n}$ ¿aparecería en una fórmula de pi?

Answer 1

Por casualidad, hace unos meses leí el maravilloso libro "Pi y la AGM", escrito por los hermanos Borwein, y me pregunté cómo habían demostrado la famosa fórmula

$$\frac{1}{\pi}=\frac{2\sqrt{2}}{9801}\cdots$$

Después de leer su demostración, me di cuenta de que la teoría del valor especial de las formas modulares está estrechamente relacionada con tu pregunta.

Forma modular del nivel 2

$$8\left(\frac{\eta(2\tau)}{\eta({\tau})}\right)^{12}$$ aparece en la fórmula dada por Ramanujan. He oído que H. M. Weber calculó algunos valores especiales de esta forma modular con Fórmula del límite de Kronecker donde aparece alguna serie de Eisenstein. La combinación lineal adecuada (que está estrechamente relacionada con la clase ideal de algún campo cuadrático imaginario) de las series de Eisenstein dará el logaritmo de la forma modular en el lado derecho, mientras que la propia combinación lineal es una función L de Hecke que puede descomponerse en el producto de las funciones L de Dirichlet. Entonces la unidad fundamental aparece naturalmente en la fórmula del número de clase de Dirichlet.

Puede encontrar más detalles en el libro de C.L.Siegel (capítulo II).

Answer 2

Después de mirar mi pregunta durante un rato, creo que puedo responderla parcialmente . Pero no de forma rigurosa, así que quizás alguien pueda mejorarlo. Las 4 clases de fórmulas de pi de Ramanujan,

$$\frac{1}{\pi} = \sum_{n=0}^\infty s(n) \frac{An+B}{C^{n+1/2}}$$

para una secuencia de enteros definida $s(n)$ tienen una forma cerrada general en términos de la función hipergeométrica y Función eta de Dedekind . Vea este corto artículo .

Después de un poco de manipulación, resulta que $A$ puede ser muy bien factorizado. Para el nivel $p=2$ , definen el cociente eta,

$$v:=v(\tau)=\frac{1}{2\sqrt{2}}\left(\frac{\eta(\tau)}{\eta(2\tau)}\right)^6\tag1$$

(similar a zy_ 's responder ), entonces,

$$A:= A(\tau) = 4\sqrt{d}\left(v-\frac{1}{v}\right)\left(v+\frac{1}{v}\right)\tag2$$

Por ejemplo:

1. Para $\tau=\tfrac{1}{2}\sqrt{-d},\;d=58$ : $$v(\tau)=\Big(\tfrac{5+\sqrt{29}}{2}\Big)^3=\color{blue}{70}+\color{blue}{13}\sqrt{29}\tag3$$

por lo que los dos factores de $(2)$ explicar,

$$A(\tau)=4\sqrt{58}\left(v-\frac{1}{v}\right)\left(v+\frac{1}{v}\right) = 16\sqrt{2}\cdot29\color{blue}{\cdot70\cdot13}$$

2. Sin embargo, para $\tau=\tfrac{1}{2}(1+\sqrt{-d}),\;d=37:$

$$v(\tau)=\zeta^3\big(6+\sqrt{37}\big)^{3/2}\tag4$$

con raíz de unidad $\zeta = e^{2\pi i/8}$ y no puede se amplíe como $(3)$ Aunque $A(\tau)$ sigue siendo un número entero (con la unidad imaginaria añadida),

$$A(\tau)=2^3\cdot5\cdot29\cdot37\,i$$

Así que mientras $(4)$ también se trataba de una unidad, a saber $U_{37}$ Supongo que fue porque $(3)$ era un potencia entera de la unidad $U_{29}$ que lo hizo diferente.

No es la respuesta completa, pero al menos es un intento.

Answer 3

Creo que es simple. Todo se debe a las unidades algebraicas. Si $z=a+b\sqrt{d}$ es una unidad y $N(z)=a^2-d\cdot b^2$ entonces $N(z)=1$ (unidad). Por lo tanto, si tratamos con unidades algebraicas, entonces $N(z)=1=a^2-d\cdot b^2$ es una ecuación de Pell. Véase el artículo [1] (el conocimiento del módulo singular elíptico $k_r$ requiere el conocimiento de unidades algebraicas).

Se ha demostrado que la mayoría de estas fórmulas (fórmulas de Ramanujan para $1/\pi$ , $1/\pi^2$ etc.) surgen de las funciones elípticas (véase [3],[5],[6]). Por ejemplo:

Establecer $$ \phi(z):={}_3F_2\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2};1,1,z\right)=\frac{4K^2\left(\sqrt{\frac{1}{2}\left(1-\sqrt{1-z}\right)}\right)}{\pi^2} $$ Entonces nos preguntamos si existen constantes $a_1,b_1$ y $g$ tal que $$ \sum^{\infty}_{n=0}\frac{\left(\frac{1}{2}\right)_n^3}{(n!)^3}z^n(a_1n+b_1)=\frac{g}{\pi}\leftrightarrow b_1\phi(z)+a_1\phi'(z)=\frac{g}{\pi}. $$ Configuración $w=\sqrt{\frac{1}{2}\left(1-\sqrt{1-z}\right)}$ entonces $1-2w^2=\sqrt{1-z}$ . También por cálculo directo $$ \sum^{\infty}_{n=0}\frac{\left(\frac{1}{2}\right)_n^3}{(n!)^3}4^n(w-w^2)^n(a_1n+b_1)=\frac{4K(w)\left[a_1E(w)+(b_1-a_1(1-w)-2b_1w)K(w)\right]}{\pi^2(1-2w)} $$ Aquí, por supuesto $K(w)$ y $E(w)$ son las integrales elípticas completas de primer y segundo tipo. También $$ \alpha(r)=\frac{\pi}{4K^2(k_r)}-\sqrt{r}\left(\frac{E(k_r)}{K(k_r)}-1\right) $$ donde $k_r$ es el módulo singular elíptico, es decir, la solución de $$ \frac{K(\sqrt{1-k_r^2})}{K(k_r)}=\sqrt{r}, r>0. $$ También $$ \frac{dK(x)}{dx}=\frac{E(x)}{x(1-x^2)}-\frac{K(x)}{x} $$ Por lo tanto, el establecimiento $w=k_r$ , $a_1=1$ y $b_1=\left(\frac{\alpha(r)}{\sqrt{r}}-k_r^2\right)\left(1-2k_r^2\right)^{-1}$ llegamos a la fórmula general $$ \sum^{\infty}_{n=0}\frac{\left(\frac{1}{2}\right)_n^3}{(n!)^3}4^n(k_rk'_r)^{2n}\left(n+\frac{\alpha(r)-k_r^2\sqrt{r}}{\sqrt{r}(1-2k_r^2)}\right)=\frac{1}{\pi\sqrt{r}(1-2k_r^2)} $$ Evaluaciones de $k_r$ y $\alpha(r)$ puede darse para racionales positivos $r$ . Por ejemplo, con $r=2$ tenemos $k_2=\sqrt{2}-1$ , $\alpha(2)=\sqrt{2}-1$ . De ahí que obtengamos la siguiente fórmula $$ \sum^{\infty}_{n=0}\frac{\left(\frac{1}{2}\right)_n^3}{(n!)^3}(40\sqrt{2}-56)^{n}\left(n+\frac{2}{7}-\frac{1}{7\sqrt{2}}\right)=\frac{8+5\sqrt{2}}{14\pi} $$ Para $r$ entero positivo podemos encontrar $k_r$ y $\alpha(r)$ utilizando los métodos de [1],[2]. Para una tabla de valores de $k_r$ de r=1 a 100, véase [4]. Para las evaluaciones de $\alpha(r)$ ver[5]

[1]: Mark B. Villarino: "Ramanujan most singular modulus". arXiv:math/0308028v4 [math.HO] 2005.

[2]: D. Broadhurst. "Soluciones por radicales en valores singulares $k_N$ de Nuevas Invariantes de Clase para $N\equiv3(\textrm{mod})8$ ". arXiv:0807.2976 [math-ph], (2008).

[3]: N.D. Bagis, M.L. Glasser. "Tipo Ramanujan $1/\pi$ fórmulas de aproximación". Journal of Number Theory, Elsevier, (2013)

[4]: J.M. Borwein, M.L. Glasser, R.C. McPhedran, J.G. Wan, I.J. Zucker. "Lattice Sums Then and Now". Cambridge University Press. Nueva York, (2013).

[5]: J.M. Borwein y P.B. Borwein. "Pi and the AGM". Ed. 1987, Nueva York: John Wiley and Sons Inc., (1987)

[6]: N.D. Bagis. "A General Method for Constructing Ramanujan-Type Formals for Powers of $1/\pi$ ". The Mathematica Journal. Vol. 15., (2013)

...CONTINUAR

Del Teorema de la Unidad de Chan Huang tenemos que: Si $n\equiv 2(mod4)$ entonces $k_n$ es la unidad.

De la relación $$ \frac{(k'_n)^2}{k_n}=2g_n^{12}\textrm{, }k'_n=\sqrt{1-k_n^2} $$ donde $g_n$ es el invariante de Weber: $$ g_n=2^{-1/4}q^{-1/24}\prod^{\infty}_{m=0}(1-q^{2m+1})\textrm{, }q=e^{-\pi\sqrt{n}}. $$ Ahora bien, si $\delta_1,\delta_2,\ldots,\delta_{\nu(-8n)}$ son los distintos divisores Impares de $-8n$ y $\delta'_l$ son los divisores complementarios de $\delta_l$ , como por ejemplo $\delta'_l\delta_l=-8n$ $$ g_{2n}=\prod^{\nu(-8n)}_{l=1}\left(\frac{T_l+U_l\sqrt{\delta_l}}{2}\right)^{\nu(\delta_l)\nu(\delta'_l)/\nu(-8n)}, $$ donde $\nu(n)$ es el número de clases propiamente primitivas del discriminante de $n$ y $(T_l,U_l)$ es la solución mínima de la ecuación de Pell $$ x^2-\delta_l y^2=4 $$

NOTAS.

LEMA 1. Si

1. $uv:=g_n^6$

2. $2U:=u^2+u^{-2}$ , $2V=v^2+v^{-2}$

3. $W=\sqrt{U^2+V^2-1}$ ,

4. $2S=U+V+W+1$ entonces

$$ k_n^2=(\sqrt{S}-\sqrt{S-1})^2(\sqrt{S-U}-\sqrt{S-U-1})^2(\sqrt{S-V}-\sqrt{S-V-1})^2\times $$ $$ \times(\sqrt{S-W}-\sqrt{S-W-1})^2. $$

LEMA 2. Si

$\sqrt{\alpha}:=\sqrt{ab}+\sqrt{(a+1)(b-1)}$

$\sqrt{\beta}:=\sqrt{cd}+\sqrt{(c-1)(d-1)}$ entonces $$ x_1:=(\sqrt{a+1}-\sqrt{a})(\sqrt{b}-\sqrt{b-1})(\sqrt{c}-\sqrt{c-1})(\sqrt{d}-\sqrt{d-1}) $$ $$ x_2:=-(\sqrt{a+1}+\sqrt{a})(\sqrt{b}+\sqrt{b-1})(\sqrt{c}+\sqrt{c-1})(\sqrt{d}+\sqrt{d-1}) $$ son raíces de $$ x-x^{-1}=2(\sqrt{\alpha\beta}+\sqrt{(\alpha+1)(\beta-1)}) $$

Answer 4

Esto se discute tanto en la página de Wikipedia sobre computación $\pi$ y en el número de Eymard y Lafon $\pi$ (donde en realidad hacen referencia a un libro de Weber, que no puedo localizar ya que en google books no aparece el índice).