Yo descomponer la pregunta en cuatro partes, todas las cuales Pete ya sabe mucho acerca de, y/o se mencionan en los comentarios:
(1) Los libros por Malle-Matzat y Völklein explicar exhaustivamente los caballos de batalla de la materia, tales como la rigidez del método de John Thompson.
(2) los resultados Posteriores: Pete mismo es responsable de un importante resultado en la $A_1(2,p)$ de los casos. Parece bien conocido que en el caso de $A_1(2,q)$ (e $G(q)$ para otros muchos otros algebraica de los grupos de $G$) es difícil cuando se $q$ es una fuente primaria de energía en lugar de un primo. (Pero que era la sabiduría de hace 10 años --- ver la actualización más adelante.) Pete ya dio una interesante referencia para el caso de $A_1(2,16)$.
(3) Personas de tabular los resultados. Parece que la principal actividad es que los Klüners con la ayuda de Malle. La base de datos en línea de Klüners es organizado por la permutación de grado del grupo, que por supuesto no es el mismo que el de la cardinalidad. También Klüners se ve en todos los grupos finitos, no sólo finitos simples.
(4) Tamaños finitos simples grupos. La página de Wikipedia, la lista de finitos simples grupos, es excelente. Enumera todos los 16 no abelian finitos simples grupos de orden menor que 10,000.
Así que podría ser mejor para comunicarse directamente con el Klüners específicas relativas a la inversa Galois resultados.
Si usted está interesado en la organización finitos simples grupos de cardinalidad --- esta es una pregunta que surge a partir de tiempo al tiempo --- podría ser muy útil para convertir la página de Wikipedia para Python/programa de SAGE.
Actualización 2: David Madore tenido la misma idea hace 8 años y escribió un código en Python, pero en el Esquema. Así que si usted está interesado en el más pequeño grupo simple no demostrado ser un grupo de Galois, sólo tienes que ir Madore de la lista. Nota: el Shih-Malle teorema de que Pete se resume en su papel: $A_1(2,p)$ es $\mathbb{Q}$-Galois al $p$ es primo y no un cuadrado mod 210. El primer presidente de $p$ que es un cuadrado mod 210 es el 311. (Pete papel se asienta algunos otros $p$, pero no que uno). Madore la tabla muestra que el caso abierto $A_1(2,311)$ aparece apenas un par de entradas después de que el abierto sólo esporádicos caso, $M_{23}$. Entonces, ¿qué tiene que dejar que los más pequeños de $M_{23}$?
Actualización 1: buscar un poco en Google encontré un interesante papel por Dieulefait y Wiese y una más reciente artículo de Bosman. Parece que mucho más se sabe acerca de la $A_1(2,q)$ de casos en los últimos años utilizando el número de la teoría de las curvas de representaciones de Galois apegado a las formas modulares, en lugar de la rigidez del método de Thompson. En particular, no abra los casos permanecen en la Wikipedia lista de finitos simples grupos de orden menor que 10,000, otros que posiblemente $A_1(27)$ e ${}^2A_2(9)$, que es el grupo unitario $\text{PSU}(3,\mathbb{F}_9)$. En realidad se parece a ${}^2A_2(9)$ no sobrevive bien porque (como $M_{11}$) es manejado por los métodos más antiguos, según Malle y Matzat. El más pequeño grupo simple finito que no es conocido por ser un grupo de Galois sobre $\mathbb{Q}$ podría ser una interesante pregunta de la trivia por el momento.
