¿Qué diferencias se hacen para vivir en $T^3$,$S^2 \times S^1$, $\mathbb{R}P^3$ o en $S^3$?

Question

Estoy tratando de entender conceptualmente lo que distingue a estos tres espacios. Entiendo que todo en términos de la fundamental dominio de estos espacios, es decir, el 3-cubo. Para $T^3$, si yo establecidos en cualquiera de las 3 direcciones mutuamente perpendiculares, me gustaría, finalmente, volver a la que me inicié en la misma orientación. Si dejo que mi perro a dar un paseo en cualquiera de las tres direcciones y regresó, la correa iba a quedar atrapados en el espacio, ya que este es un género 1 objeto.

Para $S^3$, todo lo que parece el mismo, excepto yo siempre iba a ser capaz de tirar de mi perro de la correa.

Para $S^2 \times S^1$ supongo que todo sería el mismo, pero si mi perro se fue en una dirección particular de la correa iba a quedar atrapados en el espacio?

Hay un espacio donde en dos direcciones, la correa se ve atrapado en el espacio, pero en la tercera no?

Por último, supongo que $\mathbb{R}P^3$ es similar a $S^3$: la correa nunca se queda pillado, pero cuando mi perro vuelve a su orientación se invierte. Puede interactuar con mi perro cuando se trata de invertir? ¿El perro sólo parecen ser revertido a mí?¿Que aparecen en su orientación original a sí mismo?

Si alguien me puede ayudar a limpiar estas interpretaciones, le estaría muy agradecido. Me parece que estas ideas simples para ser extremadamente útil en recordar las características de un espacio.

Answer 1

Para recopilar toda esta discusión en una respuesta, vamos a empezar por señalar que la mayoría de su intuitiva observaciones sobre el grupo fundamental de los espacios que se está mirando. El grupo fundamental de un espacio es definido por la especificación de un punto de base (por ejemplo, su posición) y luego busca en todos los caminos en el espacio que comienza y termina en el punto de base. Si el espacio es el camino-conectado, no importa en que punto de base de recoger, como grupo fundamental va a ser el mismo, no importa donde se mire. Formalmente, una ruta desde un punto de $A$ a un punto de $B$ dentro de un espacio de $X$ se define como una función continua $f: [0,1] \to X$ tal que $f(0) = A$$f(1) = B$. Espero que usted puede ver con bastante claridad cómo esta muy bien capta nuestra idea intuitiva de lo que es una ruta de acceso debe ser en riguroso, lenguaje formal. El grupo fundamental consiste en todas las rutas desde el punto de base elegido para sí mismo, también conocido como bucles, con excepción de dos bucles son considerados a ser el mismo si uno puede ser continuamente deformado en el otro, mediante un proceso llamado homotopy. En el grupo fundamental de la definición de una composición de caminos que es diferente de la habitual de la composición de funciones, y se inventó para que el resultado de la ruta está definida en el mismo dominio, es decir, la unidad de intervalo de $[0,1]$ - dados dos caminos $f$, $g$ podemos definir su composición $f*g$ a ser el camino de $f*g: [0,1] \to X$ definido por $$(f*g)(x) = \begin{cases} f(2x) & 0 \le x \le \frac12 \\ g(2x - 1) & \frac12 < x < 1 \end{casos}$$ Este rigurosamente captura la idea de "lo primero es hacer un bucle, a continuación, hacer lo otro".

Para conectar todo esto a su intuitiva fotos, vamos a observar que el perro de la correa representa la ruta de acceso que el perro ha tomado. Cuando su perro se devuelve a usted después de haber dado una vuelta por el toro, te aviso que la correa se queda "atrapado en el espacio"; no hay manera de que usted puede tirar de la correa, excepto a su perro caminar de regreso a la forma en la que llegó. Si por el contrario el perro sigue caminando hacia adelante, posiblemente en alguna otra dirección, lo que se obtiene es que la correa es "doblemente atrapado" en todo el espacio. Esto corresponde a la composición de los dos bucles, el primero de ellos va alrededor de una dirección, el segundo va por el otro.

$\mathbb{RP}^3$ tiene un curioso grupo fundamental. Consta de exactamente dos tipos de bucles: en primer lugar, el tipo trivial, es decir, la clase en la que puede tirar de la correa, todo el camino de regreso sin el perro tener que trazar su camino, y en segundo lugar, el tipo en el que el perro ha recorrido todo el espacio exactamente una vez. Esta es la única que no sea trivial tipo de bucle en este espacio. Si usted componen este bucle con la misma, se obtiene de nuevo el loop. Es decir, si su perro la correa se ve atrapado en el espacio después de que su perro ha hecho de sus viajes, y sigue adelante para hacer un viaje en el espacio, entonces la correa realidad desentrañar como sacarlo de nuevo a usted.

Ahora, por SteveD comentario, $\mathbb{RP}^3$ es orientable, pero si quieres ganar la intuición acerca de la no-orientable espacios (como por ejemplo,$\mathbb{RP}^2 \times S^1$), y específicamente acerca de lo que podría suceder a su perro como él hizo un viaje alrededor de una orientación revertir la ruta, aquí un ejemplo: Recuerda a tu perro perezoso ojo derecho? Por supuesto que sí. Bien, ahora es el perezoso a la izquierda de los ojos. Más en general, todas las características del perro, que inicialmente parecía estar de su lado derecho ahora parecen estar en su lado izquierdo, y viceversa. Por supuesto, desde el perro de la perspectiva, es la orientación del resto del universo, que ha cambiado. Raro, ¿cierto? Usted puede preguntar, "¿por Qué el perro se invirtió alrededor de la izquierda y la derecha? ¿Qué acerca de la parte inferior o superior características? Un hombre muy sabio una vez discutido esta cuestión en una forma mucho más animado y más reveladora de la manera que yo jamás podría.

Welp, espero que toda esta discusión ayuda a solidificar su comprensión intuitiva de 3 dimensiones de los espacios. Por favor, hágamelo saber si eso borra todo para arriba para usted.