¿Cómo representar$\mathbb{C}_p$?

Question

Espero que esto sea apropiado para mathoverflow. La comprensión de $\mathbb{C}_p$ siempre ha sido algo de una piedra de tropiezo para mí. Una cosa estándar para hacer en la teoría de números es tomar la finalización de la $\mathbb{Q}_p$ de los racionales con respecto a un $p$-ádico valor absoluto. El campo resultante es entonces completa, pero no tiene ninguna buena razón para ser algebraicamente cerrado. Usted puede tomar su algebraica de cierre, pero que no es completa, por lo que luego de tomar la finalización de la eso, y obtener un campo que es a la vez completa, y algebraicamente cerrado, que se denota por $\mathbb{C}_p$.

Entiendo que es razonable deseo de tener un campo de extensión de $\mathbb{Q}_p$ que es a la vez completa y algebraicamente cerrado; mis problemas, sin embargo, está recibiendo algún tipo de comprensión de cómo la imagen de este objeto, y el desarrollo de cualquier intuición acerca de cómo se utiliza. Aquí están mis preguntas; me imagino que las respuestas están relacionadas con:

1. Estoy incluso supone que es capaz el de la imagen?
2. Hay alguna manera en que yo debería pensar en un elemento típico?
3. Vale la pena, en términos de estos objetivos, para mirar las pruebas de las afirmaciones que en mi primer párrafo?
4. Cómo es $\mathbb{C}_p$ utiliza normalmente? (esta pregunta puede ser demasiado vaga, ignóralo!)

Por favor, siéntase libre de contestar a alguna o a todas estas preguntas.

Answer 1

Voy a sugerir una manera de conseguir un asimiento en $\mathbb{C}_p$ en un "pictórico" manera. Se supone que debe ser similar a la visualización de $\mathbb{C}$ como un avión que actúa sobre sí mismo a través de rotaciones, cambios de escala, y las traducciones.

Hay una costumbre de la imagen de $\mathbb{Z}_p$, que se ve como la cosa más abajo para $p=3$ (tomado de la página web de Heiko Knospe,):

Aquí el círculo más externo es todo de $\mathbb{Z}_3$; los tres grandes círculos de colores son el residuo de las clases de mod $3$, los círculos pequeños son el residuo de las clases de mod $9$, y así sucesivamente. Si quieres pensar acerca de $\mathbb{Q}_p$, imaginar esta imagen continua infinitamente "hacia arriba" (por ejemplo, este círculo es acompañado por otros dos, en el interior de un círculo más grande, acompañado por otros dos, etc.).

Ahora las operaciones de multiplicación y adición hacer algo muy geométrica. Es decir, además de cíclicamente permutes el residuo de clases (de cada tamaño!) por una cierta cantidad, dependiendo del coeficiente de $p^n$ en la $p$-ádico de expansión de lo $p$-ádico entero que tiene en mente. La multiplicación por una unidad cambia el residuo de clases alrededor como era de esperar, y la multiplicación por un múltiplo de $p^n$ reduce el círculo hacia abajo y lo envía a algunos (posiblemente girado) copia de la misma dentro del pequeño círculo correspondiente a la ideal $(p^n)$.

Ahora el cero tiene la $p$-ádico de expansión $0+0\cdot p+0\cdot p^2+\cdots$ y por lo tanto es el único elemento en la intersección de los círculos correspondientes a los residuos de la clase $0$ mod $p^n$ por cada $n$. Así que tenemos una forma de pensar de los ceros de los polinomios de más de $\mathbb{Q}_p$---es decir, una extensión de Galois de $\mathbb{Q}_p$ es algunos de grandes dimensiones espacio vectorial $\mathbb{Q}_p^N$ (que probablemente tenga una foto de álgebra lineal) actuó por $\mathbb{Q}_p$, de manera que se retuerce cada factor de $\mathbb{Q}_p^N$ y permutes los factores de la suma directa, de acuerdo a la Galois de acción. Que la extensión algebraica significa que hay una cierta manera de torcer sobre (utilizando el anteriormente descrito acciones) para colocar cualquier elemento en el $0$ punto.

Totalmente ramificado extensiones de añadir niveles intermedios de círculos entre las que ya existen, mientras que unramified extensiones de agregar nuevos círculos. Creo que este punto de vista es particularmente atractiva visualización.

Ahora, la clausura algebraica de $\mathbb{Q}_p$ es algún elemento maximal de el poset de estas extensiones algebraicas---que es difícil de visualizar, ya que no es realmente "único", pero por el bien de una imagen, se puede pensar en la elección de incrustaciones $K\to K'$ por cada $K'/K$, y tomando luego la unión. Por último, creo que de la finalización de la manera habitual, por ejemplo, por formalmente la adición de los límites de secuencias de Cauchy.

Tratando de sacar fotos de algunos finito extensiones algebraicas de $\mathbb{Q}_p$ puede ser de ayuda, y averiguar lo que las acciones de la adición y la multiplicación son es un ejercicio divertido. Espero que este "cuadro de la palabra" es tan útil para usted como lo es para mí.

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AÑADIDO: Aunque esta respuesta es cada vez más larga, quería añadir otra foto para ampliar los puntos que he hecho acerca de unramified y totalmente ramificado extensiones anteriores.

Aquí está una foto de $\mathbb{Z}_3$, lo que he hecho con el software libre Blender; imagino que de continuar indefinidamente hacia arriba:

Una vista superior de este objeto debe ser la imagen anterior; los elementos reales de $\mathbb{Z}_3$ debe ser visto como sentarse "infinitamente alto", en las ramas de este árbol. Como se puede ver, este objeto se divide en niveles, indexado por $\mathbb{N}$, y en el $n$-ésimo nivel se $p^n$ "plataformas" correspondiente a los residuos de mod $p^n$. Para $\mathbb{Q}_p$, los niveles deben ser indexados por $\mathbb{Z}$.

Ahora, ¿qué pasa cuando uno mira a una unramfied extensión de grado $k$? Los niveles, que corresponden a los poderes de la máxima ideal, no debe cambiar, así que los niveles aún son indexados por $\mathbb{Z}$; pero la cantidad de ramificación en cada "plataforma" ahora es indexado por $\mathcal{O}_K/m=\mathbb{F}_{p^k}$. Así, en lugar de $p$ ramas de salir de cada nivel,$p^k$.

Por otro lado, lo que si tenemos una totalmente ramificado extensión de grado $k$? Ahora $\mathcal{O}_k/m=\mathbb{F}_p$, por lo que todavía hay $p$ ramas en cada nivel. Pero debido a que el uniformizer ahora tiene valoración $1/k$, podemos ver que los niveles como ser indexado por $\mathbb{Z}[1/k]$ (si te gusta, la altura de cada plataforma ahora es $1/k$ en lugar de $1$).

Entonces, ¿cuál es el resultado de $\mathbb{C}_p$? Podemos verlo como un diagrama similar, a excepción de los niveles son indexados por $\mathbb{Q}$, y las ramas procedentes de un individuo de la plataforma corresponden a los elementos de $\overline{\mathbb{F}_p}$.

Una cosa buena acerca de esta foto es que uno puede realmente construir espacios como el que he incluido en la imagen---colocación de los tubos en mi foto con segmentos de línea---de forma tal que los elementos de $\mathbb{Q}_p$ o algunos de extensión de los mismos son un subconjunto del espacio (en vivo "infinitamente" de la parte que he dibujado), con la topología de subespacio de ser la habitual de la topología en el ámbito local. Además, la construcción es functorial, en que una incrustación $K\hookrightarrow K'$ induce un mapa continuo de espacios. La distancia entre dos puntos en el campo local es el dado por su "mayor ancestro común" en este senderos que se bifurcan.

(Esta foto es esencialmente una descripción de la Berkovich espacios mencionados por Joe Silverman, aunque yo soy esencialmente un novato en ese sentido, así que es muy posible que me he hecho algún error; usted debe tomar esto como una descripción de mi intuición, no Berkovich de la definición).

Answer 2

Entre las razones que $\mathbf{C}_p$ es duro para "visualizar" se la está totalmente desconectados (como es $\mathbf{Q}_p$) y no es localmente compacto. La falta de locales de compacidad significa, por ejemplo, que no se puede poner un agradable medida en $\mathbf{C}_p$. Muchas personas en estos días en su lugar de trabajo en el Berkovich afín a la línea de $\mathbf{A}_p^{Berk}$ o de la asociada Berkovich proyectiva de la línea de $\mathbf{P}_p^{Berk}$. El Berkovich línea es un espacio topológico que

1. contiene una copia de $\mathbf{C}_p$ como un espacio topológico
2. es (simplemente) conectado;
3. es localmente compacto.

Así que la gente teoría de la medida, e incluso el análisis armónico, en Berkovich espacios. Usted puede encontrar una breve introducción, con algunas fotos, en mi libro La media Aritmética de los Sistemas Dinámicos, Springer, la Sección 5.10. Para una introducción más completa, hay un nuevo gran libro de Baker y Rumely, el Potencial de la Teoría y la Dinámica en la Berkovich Proyectiva Línea, American Mathematical Society, 2010.

Comentario Final: El hecho de que $\mathbf{C}_p$ no es esférica completa, que fue mencionado por Pete L. Clark, juega un papel en la Berkovich espacio. Más precisamente, lleva a algunos puntos adicionales que se necesitan para hacer Berkovich espacio completo.

Answer 3

1. Hacer lo que funcione para usted. Algunas personas piensan más en forma algebraica, otros más geométricamente. Ciertamente, no saben lo que es "imagen" significa, en este contexto, pero entonces, yo soy una más algebraicas persona, así que tal vez los demás va a ser capaz de decir más. Puede que la imagen $\mathbb{Q}^{ab}$, por ejemplo? No puedo.

2. Un elemento típico es, por definición, representada por una secuencia de Cauchy de elementos de $\overline{\mathbb{Q}}_p$. Cada uno de los elementos en la secuencia de Cauchy vive en un número finito de extensión de $\mathbb{Q}_p$, por lo que se puede ver en la forma habitual, como una potencia de la serie en un uniformiser de que finito de extensión con coeficientes en un campo finito. Pero el campo $\overline{\mathbb{Q}}_p$ sí no es discretamente valorada, así que usted puede elegir una común uniformiser para todos los números de la secuencia de Cauchy.

3. Sí! En mi opinión, esa es la única manera de conseguir una sensación para todos los campos involucrados.

4. Que uno realmente es demasiado amplio. Como es de suponer, estos campos siempre vienen cuando necesitan algo $p$-ádico que es completa y algebraicamente cerrado al mismo tiempo. A veces, sólo necesitas algo que es completo y tiene un algebraicamente cerrado residuo de campo. Entonces, la gente trabaja con la finalización de $\mathbb{Q}_p^{nr}$. Por ejemplo, estos campos se utilizan todo el tiempo en $p$-ádico teoría de Hodge (usted encontrará que muchas de las introducciones si google) y, por consiguiente, en la teoría de representaciones de Galois. Para ampliar en que requeriría un ensayo, que me temo que yo no estoy calificado para escribir.

Answer 4

1. No, no necesariamente. Es difícil conseguir una fiel imagen geométrica de un no-Arquímedes espacio. Esto puede ser útil para tener esquemático aproximado de imágenes en la mente como en Daniel Litt la respuesta, pero es igual de importante reconocer las limitaciones de estas imágenes. Hablando sólo para mí, contemplando la imagen de Daniel, la respuesta no me ayudan a entender $p$-ádico números: a la que estaba expuesta la imagen offhandedly en un curso que tomé primer año en la universidad, pero no tenía mucho sentido para mí hasta que yo estudié la algebraicas y propiedades métricas de la no-Arquímedes campos con más cuidado (en un momento posterior). Las fotos aquí son una forma de la intuición. Tener la intuición es siempre útil y a veces indispensable, pero la importación de otros intuición a menudo no funciona: usted necesita para desarrollar su propio.

2. Yo diría que no a esto. Por supuesto, usted debe entender lo $\mathbb{C}_p$ significa y cómo se construye, pero en general el pensamiento de estructuras algebraicas elemento por elemento no es tan útil. Con esto quiero decir que en lugar de pensar en un elemento de $\mathbb{C}_p$ como una cierta secuencia de Cauchy de elementos de extensiones algebraicas de $\mathbb{Q}_p$ de grado variable, es igual de útil, y lógicamente más simple, solo pensar de $\mathbb{C}_p$ un completo normativa campo que contiene una densa copia de la clausura algebraica de $\mathbb{Q}_p$ con la (única) la extensión de la $p$-ádico métrica.

3. Oh, sí. Definitivamente, usted debe entender por qué la finalización de la clausura algebraica de la $p$-ádico de la finalización de $\mathbb{Q}$ es algebraicamente cerrado! Por supuesto, es mejor si usted puede poner este hecho en un entendimiento general de que no Arquimedianos campos en lugar de aprender y memorizar un argumento que muestra exactamente eso. Por ejemplo, en estas notas me deducir (Corolario 22) el hecho de que la finalización de un separadamente cerrado normativa campo separadamente cerrado de Krasner del Lema, que a mí, personalmente, se ha convertido en uno de los más útiles y significativos partes de la totalidad de la teoría. Más tarde me muestran que una completa, separadamente campo cerrado es necesariamente algebraicamente cerrado (la Proposición 27). Estos son el derecho explicaciones para mí, y creo que son buenos, pero no estoy diciendo que necesitan para ser el derecho explicaciones para usted. Tal vez algo más habla más de Krasner del Lexema.

4. ¿Por qué estás lamentando su falta de comprensión de $\mathbb{C}_p$ si usted no sabe cómo se usa? (Esto no es retórica o combativo: es una pregunta sincera.) Hay un montón de respuestas diferentes en diferentes áreas de las matemáticas. Por otra parte, para muchas personas (e incluso algunos de número de teóricos), la respuesta honesta es que no se utiliza para nada en particular. Por ejemplo, anteriormente me he referido a algunas de mis notas para un curso que enseña la pasada primavera en los campos locales y adeles. Desde la perspectiva de esas notas, el Henselian campo $\overline{\mathbb{Q}_p}$ es igual de bueno y quizás más natural. Por otro lado, para algunas personas van a $\mathbb{C}_p$ es que no: no es esférica completa, lo que significa que la clave de propiedad de un localmente compacto campo como el de la $\mathbb{C}$ o $\mathbb{Q}_p$ que una secuencia anidada de cerrado bolas necesariamente tiene intersección no vacía no se sostiene en general. Si quieres hacer serios $p$-ádico análisis funcional-por ejemplo, si usted quiere que las cosas como la de Hahn-Banach Teorema de sostener, entonces usted quiere trabajar en $\Omega_p$, la forma esférica de la finalización de $\mathbb{C}_p$. Pero mi conjetura es que el promedio de trabajo número teórico ni siquiera sabe lo $\Omega_p$ es, por lo que depende mucho de lo que quieres hacer.

Answer 5

Un punto que no creo que nadie ha mencionado es que el $\mathbb{C}_p$ es isomorfo (como un untopologised de campo) a $\mathbb{C}$. Más en general, cualquiera de los dos innumerables algebraicamente cerrado campos de la misma característica y cardinalidad son isomorfos, si recuerdo correctamente. Por supuesto, la prueba es horriblemente no constructiva, sino la definición misma de $\mathbb{C}_p$ ya está horriblemente no constructiva. Así que en lugar de preocuparse de lo $\mathbb{C}_p$ es, usted puede en lugar de preocuparse acerca de por qué la $\mathbb{C}$ admite un $p$-ádico métrica con respecto a las cuales se completa. Yo no tengo nada que ofrecer acerca de eso.

[Corregido por Johannes Hahn comentario]