¿Es necesaria la teoría de Galois (en un curso básico de álgebra de posgrado)?

Question

Por definición, un curso básico de álgebra de posgrado en una universidad estadounidense (o similar) con un programa de doctorado en matemáticas que dure parte o la totalidad de un año académico y se realice de primer (a veces de segundo) año de posgrado, que suelen estar atraídos de postgrado que se sienten atraídos principalmente por las matemáticas "puras" y esperan tener una carrera que combine de enseñanza, resolución de problemas e investigación básica. Esta definición ya cubre muchas posibilidades, especialmente si se amplía para incluir las instituciones que sólo ofrecen un máster. La mayoría de los usuarios de MO probablemente han tenido (o evitado) ese un curso de álgebra en el camino, más allá de una introducción de grado.

Existe una larga tradición de álgebra "abstracta" o "moderna" que se remonta a E. Noether E. Noether y B. van der Waerden, pero el crecimiento constante de las matemáticas ha añadido una enorme cantidad de material a los libros de texto y también ha creado demasiada competencia por el tiempo de los estudiantes de posgrado principiantes. En la práctica, muchos estudiantes pueden saltarse, y lo hacen, el álgebra a este nivel. álgebra en este nivel. Mi propia enseñanza esporádica del álgebra tuvo lugar en tres departamentos bastante diferentes (Oregón, Courant, UMass) con diferentes investigaciones énfasis en la teoría algebraica de los números: el lugar más probable donde los matemáticos matemáticos necesitarán realmente mucha teoría de Galois.

La teoría de Galois tiene una historia ilustre y (citando a Lang) "da muy rápidamente una impresión de profundidad". Expone a los estudiantes a las matemáticas reales, combinando el combinando el estudio de anillos polinómicos, campos y grupos de forma inesperada. Pero también requiere bastante tiempo para desarrollarse adecuadamente, junto con el material de apoyo. Y la gente ya no se preocupa tanto por resolver ecuaciones polinómicas exactamente como el uso de sofisticados métodos computacionales para estimar las raíces. En la vida En la vida real, los valores propios de una gran matriz no se estiman factorizando la característica polinomio característico.

Especialmente en un curso de álgebra del primer semestre, al que asisten un mayor número de estudiantes, he encontrado más gratificante dedicar tiempo a desarrollar el paralelismo entre grupos abelianos finitos y módulos de torsión generados finitamente sobre $F[x]$ (unificado en la teoría de los módulos finitamente generados sobre PID). Se trata de un material pero se trata de la teoría de la forma canónica de los operadores en la forma en que la mayoría de los la mayoría de los matemáticos deberían entenderla para la teoría y las aplicaciones. El polinomio mínimo cobra sentido aquí.

Incluso en un curso del segundo semestre, donde la tradición en la UMass y muchos otros departamentos ha favorecido la teoría de Galois, puede haber un caso más fuerte para enseñar la teoría de caracteres básicos de los grupos finitos. Esto también es un punto de encuentro para muchos temas y tiene una aplicabilidad aún más amplia que la teoría de Galois cuando cuando se desarrolla en la teoría de la representación a gran escala. (Para los teóricos de los números, existe la prueba clara de que los grados de los caracteres irreducibles dividen el orden del grupo).

Trabajar en la teoría algebraica de Lie y en la teoría de la representación, temas inéditos para la mayoría de los estudiantes de doctorado, soy especialmente consciente de la elección de los temas que los estudiantes los estudiantes se exponen formalmente. La geometría algebraica y diferencial suele tener su cursos estándar (pero no de primer año) en departamentos como el de la UMass, pero la mayoría de de las personas con un doctorado en matemáticas se las arreglan sin ni siquiera esas materias en su de su formación. La pregunta "¿Qué debería saber todo matemático?" parece más esquiva que nunca.

¿Es necesaria la teoría de Galois (en un curso básico de álgebra de posgrado)?

POSTSCRIPT: Aprecio el hecho de que tanta gente haya reflexionado detenidamente sobre esta cuestión, ya que me preocupó durante mis años de docencia. Con tan poco tiempo y tanto que aprender, es inevitable elegir. Y siempre es más fácil seguir la tradición del curso y los libros de texto existentes. Mi definición anterior de "curso básico de posgrado" no encaja en todas partes, sin duda, pero los estudiantes estadounidenses no suelen aprender muchas matemáticas antes de ese nivel, independientemente de su potencial. Así que el problema no desaparecerá en la mayoría de las universidades estadounidenses que ofrecen trabajos avanzados. (También seguirá siendo cierto que la mayoría de las personas con un doctorado aquí en "ciencias matemáticas" nunca se encontrarán con la rigurosa teoría de Galois en los cursos o en la vida real).

Answer 1

Estoy tentado a muñón de la centralidad de la teoría de Galois en la matemática moderna, pero tengo la sensación de que este sujeto está demasiado cerca de mis propios intereses de investigación (por ejemplo, he trabajado en el Inverso Galois Problema) para mí hacerlo en un verdadero estilo sobrio. Así que me limitaré a hacer unas breves (edit: no, supongo que no!) observaciones:

1) sin Duda, cuando me enseñan a nivel de postgrado clases en la teoría de números, aritmética, geometría o geometría algebraica, la que tengo en la práctica de esperar que mis alumnos han visto la teoría de Galois antes. Yo trato de cultivar una actitud de "por supuesto que no vas a sabe / no recuerda todos los posibles antecedentes de material, y yo estoy más que dispuesto a fondo del campo de preguntas y señalar a la literatura [incluyendo mis propias notas, si es posible] que contiene este material." De hecho, yo uso un montón de conocimiento de fondo de la teoría de campo, algunos de los que yo sé muy bien que no se enseña en la mayoría de los cursos estándar, algunas de las que sólo pensaba en mí mismo, en lugar recientemente-y a juzgar por las preguntas de los estudiantes y las soluciones a los problemas, el viejo finita de Galois teoría es relativamente conocido tema, en comparación a decir infinito de la teoría de Galois (por ejemplo, los Krull topología) y cosas como inseparable campo de extensiones, lineal disjointness, la trascendencia de las bases....Así que creo que vale la pena comentar que la teoría de Galois es más central, más aplicable, y (afortunadamente) en la práctica más conocida de un montón de temas en el puro campo de la teoría que se encuentran en un suficiente grosor estándar de posgrado de texto.

2) En respuesta a uno de Harry Gindi comentarios, y parafraseando a Siegbert Tarrasch: antes de graduarse de álgebra, los dioses han puesto de pregrado de álgebra. Un montón de gente está hablando acerca de posgrado álgebra como una primera introducción a las cosas que creo que debería ser primero introducido en un curso de licenciatura. Me tomé un año-larga secuencia en la licenciatura de álgebra en la Universidad de Chicago, que ciertamente incluye una unidad de la teoría de Galois. Esta fue la "honra" de la sección, pero me imagino que el que no honra sección incluye algunos de los materiales sobre la teoría de Galois así. Por otra parte-y aquí es donde el "pero se convirtió en un Galois teórico!" objeción puede contener el agua, había un montón de cosas que eran más difíciles de vender y más confuso para mí como un joven de 19 años de álgebra estudiante de la teoría de Galois: he encontrado toda la charla sobre los módulos a ser algo abstruso y (oh, la callowness de la juventud), incluso un poco aburrido.

3) creo que alguien en cualquier rama de la matemática pura, para quien la frase "la correspondencia de Galois" significa que nada está realmente perdiendo algo importante. El Galois correspondencia entre subextensions y subgrupos de Galois de la extensión es el más clásico de los casos y debe ser visto de primera, pero un topologist / aparejador necesita tener una idea de la Galois correspondencia entre los subgrupos del grupo fundamental y cubriendo los espacios, la algebraicas aparejador de las necesidades de la Galois correspondencia entre Zariski-cerrado subconjuntos y radical ideales, el modelo teórico de las necesidades de la Galois de la correspondencia entre las teorías y las clases de modelos, y así sucesivamente. Este es un básico, recurrente pieza de estructura matemática. No está haciendo todo el detalle sangriento de la teoría de Galois es una opción razonable -- estoy de acuerdo en que mucha gente no necesita saber de las pruebas, que son necesariamente algo compleja; pero omitiendo todo se siente como una gran pérdida.

Answer 2

En los últimos años, la enseñanza de las matemáticas (a nivel universitario) se ha desplazado más hacia el lado aplicado. Al menos en el sentido de que los estudiantes tienen que dedicar más tiempo a las cosas aplicadas. Por supuesto, esto significa que aprenden menos material abstracto. He impartido cursos de posgrado y de licenciatura tanto en Estados Unidos como en Alemania.
Mi impresión es que el álgebra lineal se descuida en los Estados (curso de un semestre centrado en la manipulación de matrices), hasta el punto de que los estudiantes de posgrado tienen dificultades con el concepto de base. Sobre esta base podría ser difícil enseñar la teoría de Galois.

Sin embargo, para los matemáticos que planean hacer investigación (obtener un doctorado) es absolutamente necesario ver los méritos de un enfoque abstracto. La teoría de Galois no sólo hace esto, sino que también te dice para qué sirve el álgebra lineal abstracta y la teoría de grupos. Está claro que los grupos, los campos, los espacios vectoriales y los polinomios son conceptos extremadamente importantes en matemáticas. Después de un énfasis excesivo en las formas de resolver integrales trigonométricas en los cursos de cálculo, la teoría de Galois también tiene el potencial de exponer a los estudiantes a la verdadera belleza de las matemáticas (y el hecho de que muchas grandes teorías se basan en la interacción de diferentes materias).

Answer 3

Creo que, si tuviera a alguien que no supiera álgebra, trataría de enseñarle anillos y módulos (junto con álgebra lineal) en lugar de teoría de grupos. La razón básica es que en cualquier tipo de "aplicación" (tanto en la matemática aplicada como en las aplicaciones del álgebra a otra matemática teórica) uno siempre parece acabar linealizando. Incluso en las aplicaciones de la teoría de grupos, especialmente a la teoría de campos, esto es cierto; de hecho, los grupos suelen venir con una representación natural. Los grupos más importantes son los grupos lineales.

La otra razón para valorar la teoría de anillos es que es más general. El curso básico de teoría de grupos es engañoso en su énfasis en las consecuencias convenientes de la finitud, y también está cargado de complicaciones técnicas relacionadas con la no conmutatividad (por supuesto, el estudio de los grupos abelianos finitos es parte del estudio de los módulos, como dijo Jim. Hay un buen caso para dedicar tiempo a eso en medio del comienzo de un curso de anillos).

¿Pero qué pasa con la teoría de Galois? Es lo que realmente une todo el asunto; utilizar un curso de teoría de Galois como introducción a los grupos sería fascinante. Sin embargo, las ideas básicas se basan en el álgebra lineal y para realizar cualquier construcción es necesario conocer la teoría de anillos básica. La dependencia del álgebra lineal no es fuerte; no es más fuerte que la necesidad de definir los grupos antes de definir los anillos (lo que realmente no es necesario hacer), pero la idea de que los elementos del campo actúen sobre el propio campo como un espacio vectorial no es cómoda para los principiantes.

Quizá considerar la teoría de Galois como una aplicación sea en sí mismo problemático. Es una teoría de nivel superior; como dice Jim en la pregunta, la gente no resuelve los polinomios simbólicamente tanto en las aplicaciones. La teoría de Galois es el tipo de curso que deberías enseñar a la gente que está en la vía teórica y que tiene la experiencia para verlo como lo que es. Sin embargo, para un primer curso de álgebra creo que los anillos y los módulos con álgebra lineal deberían ser lo primero, seguido de los grupos a través de alguna forma de teoría de la representación, posiblemente algo con conexiones con el análisis (yo era nunca enseñó ningún uso del álgebra en el análisis, aunque sé que existe). El análisis es un gran campo.

A pesar de toda su belleza, la teoría de Galois es una especie de producto de nicho. No hay una opción correcta en este caso (en realidad, abandonar la teoría de Galois parece moralmente incorrecto), pero también conviene recordar que no hace falta un milagro para entusiasmar a los estudiantes con las matemáticas cuando ya están en un curso de álgebra de posgrado. La teoría de la representación también es muy atractiva (y por una razón similar, de hecho), y un curso de álgebra sólido aunque utilitario es muy satisfactorio.

Answer 4

En primer lugar, mi punto de vista: en mi institución, enseñamos dos corrientes de álgebra de grado, una corriente estándar y otra de tipo honorífico. Ambas cubren algo de teoría de Galois, ciertamente con más intensidad en la corriente de honores; en esa corriente, se cubre toda la teoría básica de extensiones separables finitas, probablemente las extensiones inseparables reciben una breve mención (char. p está presente, pero probablemente siempre es un poco turbia comparada con char. cero), y se demuestra la insolubilidad de la quíntica.

También enseñamos un curso de álgebra de primer año (tres trimestres de 10 semanas (aproximadamente)), que es tomado por una mezcla de fuertes estudiantes de grado y estudiantes de primer año de grado que no han pasado el prelimiar en álgebra. Creo que en el curso presuponemos una formación similar a la que impartimos en nuestro curso de licenciatura.

En los tres trimestres, el primero es de teoría de grupos y teoría de Galois. El componente de teoría de Galois incluye un rápido desarrollo/revisión del caso de grado finito, y un tratamiento bastante cuidadoso del caso de grado infinito.

Los dos siguientes trimestres son la teoría de Wedderburn y los rep de grupos finitos; y luego el álgebra conmutativa.

Si tuviera que dejar uno de los tres trimestres (que es hasta cierto punto el contexto de la pregunta, ya que implica pasar de trimestres a semestres), probablemente dejaría el primero.

Mi razonamiento: La teoría de Galois es vital para la teoría algebraica de los números, y útil (a veces) para la geometría algebraica. Pero tengo la sensación de que (como gran parte del álgebra, de hecho) tiene el estatus de esotérica en el mundo matemático (puro) más amplio. En pocas palabras, la gente no la utiliza.

La teoría de la representación de grupos finitos, por su parte, introduce en un entorno sencillo una serie de conceptos vitales que se utilizan ampliamente en las matemáticas. (La teoría de Wedderburn fuera del contexto de la teoría de la representación de grupos es probablemente una indulgencia innecesaria; es hermosa, pero (por ejemplo) el grupo de Brauer es probablemente incluso más esotérico que la teoría de Galois. Pero ciertamente se puede simplificar si es necesario, y llegar muy directamente a lo bueno).

El álgebra conmutativa es también bastante esotérica, pero la vinculación con la geometría algebraica da una forma de presentarla que añade atractivo, y en cualquier caso, el último trimestre/semestre probablemente necesite menos justificación que el primero.

Una cosa que creo que es importante (y que ponemos en el segundo trimestre) es un buen tratamiento del álgebra multilineal; mucha gente necesitará saberlo.

Answer 5

Estoy aprendiendo Galois por medio de resolventes racionales, dando n! valores distintos al permutar las raíces. Entonces el grupo de Galois de un polinomio eqn sobre Q se genera muy maravillosamente como un conjunto de permutaciones que tienen estas dos propiedades respecto a las expresiones racionales en las raíces. Este grupo es una propiedad de la ecuación polinómica, con vida propia. Luego, la forma en que el grupo tiene subgrupos a medida que se añaden números a Q es bastante extraordinaria e igualmente maravillosa. La normalidad de un subgrupo salta a la vista cuando al grupo de Galois sobre Q se le añaden números (o funciones). Vemos cómo la investigación de Galois se desarrolla realmente ante nuestros ojos. Soy un matemático muy débil, con una débil licenciatura, pero incluso yo puedo percibir el extraordinario descubrimiento que hizo Galois cuando vio surgir este grupo. ¿No es este trabajo la base de todo el curso posterior de la investigación sobre la "abstracción", ya que los matemáticos buscaron invariantes y características de entidades que antes no se sospechaba ni se soñaba que existieran? No puedo imaginar cómo un estudiante no sentirá curiosidad por la procedencia de los morfismos y campos y espacios vectoriales groovy iso y epi y etc. que aprende a manejar con mayor o menor soltura, por razones más o menos variadas.