Métricas explícitas

Question

La superficie de cada admite métricas de curvatura constante, pero en general existe una desconexión entre estos indicadores, las formas de los objetos ordinarios, y los típicos dibujos matemáticos de las superficies.

¿Alguien puede dar una explícita y de manera intuitiva significativa fórmulas para negativamente curva de métricas que están relacionados con una incrustación de una superficie en el espacio?

Hay una manera fácil de hacer esto para un subconjunto abierto del plano. Si la métrica del plano escala por una función que es $\exp$ de una función armónica, el factor de escala es al menos localmente, la norma de la derivada de un complejo de la analítica de la función, por lo que el resultado de la métrica es todavía plana; el recíproco también es cierto. Por lo tanto, el signo de la curvatura de una conformemente modificado métrica $\exp(g)$ sólo depende de la señal de la laplaciano de la $g$. Si el valor de $g$ a un punto menos que el valor promedio en un disco con centro en ese punto, entonces la métrica $\exp(g) ds_E$ es negativa, curva, donde $ds_E = \sqrt(dx^2 + dy^2)$ es Euclídeo de longitud de arco. texto alt http://dl.dropbox.com/u/5390048/NegativeMetrics.jpg

Por ejemplo, en una región $R$, si nos imponen un límite de velocidad que no exceda de la distancia a la dotación de $R$, esto define un no-positivamente barra curva en la métrica. (La métrica es de 1/(distancia a la frontera)$ds_E$). En esta métrica, geodesics doblarse alrededor de las esquinas: no paga cortar demasiado cerca, es mejor estar más cerca de la media. Si el dominio es simplemente conectado, puede ver una y sólo una imagen de todo, no importa donde estés.

Hay un número de otras maneras de escribir fórmulas explícitas para negativamente curvo o no positivamente curva de indicadores para un subconjunto del plano, pero esa no es la cuestión: ¿por cerrado superficies en el espacio? Cualquier superficie cerrada $M^2$ tiene al menos un total de $4 \pi$ curvatura positiva, donde la superficie se cruza con su casco convexo. Si $M$ es un doble toro, ¿cómo puede ser modificado para que sea negativo? Sería interesante ver un buen ejemplo de un negativamente barra curva en la métrica definida en términos de la geometría Euclidiana, en lugar de un indirectos de construcción. (En particular: se puede hacer mediante la resolución del PDE, pero me wwant algo más directo que eso.)

Answer 1

He aquí una respuesta a la misma pregunta, no original del proyecto de Ley, sino también una pregunta acerca de cómo especificar (de manera sencilla) no positivamente curva métrica en una superficie de Riemann compacta $C$ de género $g>1$, en este caso, uno que ha sido especificado como una curva algebraica en algún lugar (en lugar de ser dado como una superficie en $3$-espacio).

La construcción es fácil: Si la curva se ha especificado como una curva algebraica, entonces, más o menos por algorítmica significa, que uno puede escribir una base para la holomorphic diferenciales en $C$ (que es un complejo espacio vectorial de dimensión $g$). Ahora seleccione dos de estos diferenciales, dicen, $\omega$ e $\eta$, que no tienen en común ceros en $C$. (De nuevo, esto puede ser probado en forma algebraica). Ahora considere la métrica $g = \omega\circ\bar\omega + \eta\circ\bar\eta$. Esta $g$ no-curvatura positiva. De hecho, la curvatura va a desaparecer en sólo un número finito de puntos y en caso contrario será estrictamente negativo. (Por supuesto, puede añadir más términos. Si usted toma una base $\omega_1,\ldots,\omega_g$ de la holomorphic diferenciales en $C$, entonces la métrica $g = \omega_1\circ\bar{\omega_1} +\cdots + \omega_g\circ\bar{\omega_g}$ tendrá estrictamente curvatura negativa, excepto cuando se $C$ es hyperelliptic, en cuyo caso, la curvatura se desvanecen en el Weierstrass puntos de $C$.)

Por ejemplo, si usted toma un hyperelliptic curva, decir $y^2 = (x-\lambda_1)(x-\lambda_2)\cdots(x-\lambda_{2g+2})$ (con el $\lambda_i$ siendo distintos y, por decir, distinto de cero), entonces una base para la holomorphic diferenciales será dado por $\omega_i = x^{i-1}dx/y$ para $i = 1,\ldots, g$. Por otra parte, $\omega_1$ e $\omega_g$ (por ejemplo) no tienen en común ceros. Por lo tanto, el buen métrica $g = (1 + |x|^{2(g-1)})|dx|^2/|y|^2$ tiene curvatura negativa en esta curva, excepto en un número finito de puntos.

Answer 2

Esto no es una respuesta completa -- en particular, no puedo escribir las fórmulas, pero quería compartir algunas fotos que he realizado para ayudar a construir mi intuición. Zachary Treisman de la construcción pueden estar relacionados.

Como Bill Thurston ilustración de la (1/d)-métrica me enseñó, mediante la elaboración de discos que viven en la superficie que representan lo lejos que puede llegar en un determinado tiempo constante, puedo recuperar una gran cantidad de táctil intuición para una métrica sobre una superficie, incluso si mis ojos me muestran una diferente.

Así que permítanme tratar de que en una muy simple y caso especial: aplanamiento de un toro, que es la visualización de una métrica plana en una incrustado toro.

La incrustación he considerado que es parametrizadas por coordenadas (u,v), que cada uno vive en una $[0,2\pi]$:
$$x(u,v)=(c+\cos(v))\cos(u),$$ $$y(u,v)=(c+\cos(v))\sin(u),$$ $$z(u,v)=\sin(v),$$

donde el radio de un círculo meridiano es 1 y c es la distancia desde el centro de un círculo meridiano hasta el centro de la "exterior" agujero del toro. Si c>1, entonces el toro no se auto-cortan.

Yo el primer lugar de los discos en un triangular de celosía en un rectángulo con relación de aspecto de $c\sqrt{3}/2$ (de modo que la celosía triangular consta de $m$ filas y $cm$ 'columnas' de los discos). En esta figura c=2. Estos son los discos de velocidad constante en este plano métrico en el toro:

He cambiado el rectángulo de modo que tenía las dimensiones de $[0,2\pi]\times[0,2\pi]$ y se trazan los discos sobre la superficie del toro. Aquí están los resultados (los discos parecen estar pelado del toro porque he encogido al toro para que no se cruzan los discos y luego no hacer lo suficiente de tocar el violín para que sea perfecto):

c=1.2

c=2

c=5

He encontrado que es útil imaginar los discos en movimiento en el embebido toro por isometrías (que son sólo traducciones en el rectángulo de la imagen). Usted puede ver cómo los discos obtener esquiladas en la incrustación si tomamos v a v+c para que los meridianos del toro, giran todos ... este es un efecto de los diferentes curvaturas principales de la incrustación. El exterior de los discos se mueven mucho más rápido que los internos si tomamos u u+c; esta rota la incrustación de objetos alrededor de un eje vertical central.

Lo difícil sería para hacer estas fotos para negativamente superficies curvas? No sé una buena parametrización para un incrustados doble toroide, digamos que juega muy bien con un negativamente barra curva en la métrica. También no he sido capaz de recoger las características adecuadas para centrarse en estas imágenes para imaginar lo que sucede en otros casos, por lo que cualquier orientación o comentario se agradece!

Código:
^{u3[r_, [Theta], u0] := r Cos[[Theta]] + u0
v3[r_, [Theta], v0] := r sen[[Theta]] + v0
ciento[u0_, v0_] := Module[{rad = c + Cos[v0]}, {rad Cos[u0], rad Pecado[u0], Sin[v0]}]
c = 2; xx = 16; yy = 8; max = (.8 [Pi])/xx;
celosía = Aplanar[2 [Pi]/ xx Mod[Table[{m + 1/2. n, Sqrt[6]/2. n}, {m, 1, xx}, {n, 0, aa - 1}], xx], 1];
toruspic = ParametricPlot3D[Module[{rad = 1.01 c + .96 Cos[v]} (* perturban de manera que los discos no se cruzan toro *), {rad Cos[u], rad Pecado[u], .96 Pecado[v]}], {u, 0, 2 [Pi]}, {v, 0, 2 [Pi]}, PlotStyle -> {Azul, la Especularidad[1, 20], Iluminación -> Automático}, Mesh -> Ninguno, En Caja -> Falso, Ejes -> False]
Mostrar[toruspic, La[Tabla[u0 = red[[i, 1]]; v0 = red[[i, 2]]; ParametricPlot3D[ Module[{rad = c + Cos[1/(Sqrt[6]/2. aa/xx)*v3[r, [Theta], v0]]}, {rad Cos[ u3[r, [Theta], u0]], rad Pecado[u3[r, [Theta], u0]], el Pecado[1/(Sqrt[6]/2. aa/xx)*v3[r, [Theta], v0]]}], {i, 0, max}, {[Theta], 0, 2 [Pi]}, PlotStyle -> {Especularidad[Blanco, 40], Azul, Opacidad[.6]}, Mesh -> {2, 0}, MeshStyle -> Opacidad[.4]], {i, Longitud[celosía]}]], PlotRange -> Todos, en Caja -> False, Ejes -> False]}

Answer 3

Estoy pensando que el problema con la métrica en la positiva curva partes de la superficie viene del hecho de que cuando la construcción de estas cosas en $R^3$ fuera de un polígono en un Euclidiana o de plano hiperbólico, tenemos que hacer un poco de estiramiento, porque nos quedamos dimensiones sólo a la rodadura en $R^4$ un toro puede ser plana, ¿sí? Así que ¿qué tal si arreglamos una determinada curvatura de una curva en la superficie, decir la que corresponde a la más corta (en el incrustados, Euclidiana sentido) generador de grupo fundamental de un punto de base en el centro de la imagen (de nuevo, en los sistemas empotrados, Euclidiana sentido). Entonces podemos escala tangentes por la inversa de la curvatura en la dirección que especifique, de forma que las direcciones que fueron los más estirados, si pensamos en la superficie como proveniente de un pegados polígono son la forma más fácil de moverse a lo largo. Esto podría ser hecho de modo que los osculating círculos, una vez escalado, al final del mismo tamaño que nuestro círculo particular. Esto tendría el efecto, por ejemplo, de "apretar el cinturón" alrededor de la parte exterior de la positiva barra curva en la región, por lo que Deane Yang del giro de los cilindros que iba a pasar.