Consecuencias de la falta de rigor

Question

Los estándares de rigor en matemáticas han aumentado varias veces a lo largo de la historia. En el proceso, algunas afirmaciones que antes se consideraban correctas fueron refutadas. Me pregunto si estas afirmaciones erróneas se "aplicaron" en algún lugar antes (o después) de la refutación con algún efecto perjudicial. Por ejemplo, ¿se ha caído algún puente porque se pensaba que toda función continua era diferenciable excepto en un conjunto de puntos aislados?

Perdona si es una pregunta tonta.

Editar: Permítanme aclarar. Estoy buscando ejemplos de cosas malas que suceden, que caen en el siguiente esquema:

1. La falta de rigor llevó a una afirmación errónea (según el "estándar actual") en matemáticas puras.

2. Esa afirmación errónea fue correctamente aplicado a algún otro campo, o utilizado de alguna manera en los cálculos, etc.

3. A continuación, la conclusión del punto 2 se aplicó a una situación del mundo real, quizás en la construcción o la ingeniería.

4. Esto llevó a algún daño o peligro en el mundo real.

Es crucial que no haya habido errores u omisiones en 2,3,4, y un hipotético ser omnisciente al nivel de 1 aprobaría el proyecto.

Lo siento si lo hice aún más tonto. Siéntase libre de cerrar la pregunta.

Answer 1

Cita de

Martin Gardner: Curvas de anchura constante, una de las cuales permite realizar agujeros cuadrados , Scientific American Vol. 208 , nº 2 (febrero de 1963), pp. 148-158:

¿Es el círculo la única curva cerrada de anchura constante? La mayoría de la gente diría que sí, proporcionando así un excelente ejemplo de hasta dónde puede llegar la intuición matemática. En realidad, hay infinidad de curvas de este tipo. Cualquiera de ellas puede ser la sección transversal de un rodillo que hará rodar una plataforma tan suavemente como un cilindro circular. La falta de reconocimiento de estas curvas puede tener y ha tenido consecuencias desastrosas en la industria . Por poner un ejemplo, se podría pensar que el casco cilíndrico de un submarino a medio construir podría ser sometido a una prueba de circularidad simplemente midiendo las anchuras máximas en todas las direcciones. Como pronto se aclarará, un casco de este tipo puede ser monstruosamente desigual y aun así pasar la prueba. Precisamente por esta razón, la circularidad del casco de un submarino se comprueba siempre aplicando plantillas curvas.

Answer 2

En la mecánica clásica, se considera que las fuerzas disipativas tienen un efecto estabilizador. Sin embargo, esto no siempre es así, como lo demuestran los responsables del primer satélite lanzado por Estados Unidos Explorador I descubierto. Citando el artículo de la wikipedia enlazado

El Explorador 1 cambió el eje de rotación después del lanzamiento. El cuerpo alargado de la nave había sido diseñado para girar sobre su eje largo (de menor inercia) pero se negó a hacerlo, y en lugar de ello comenzó a precesar debido a la disipación de energía de los elementos estructurales flexibles . Más tarde se comprendió que, en general, el cuerpo termina en el estado de giro que minimiza la energía cinética de rotación para un momento angular fijo (siendo éste el eje de máxima inercia). Esto motivó el primer desarrollo de la teoría euleriana de la dinámica del cuerpo rígido después de casi 200 años, para abordar este tipo de disipación de energía que preserva el momento.

En resumen, el satélite acabó girando como una pala de molino de viento debido a un fenómeno contraintuitivo conocido como inestabilidades inducidas por la disipación para un artículo de revisión sobre esto ver

Krechetnikov, R.; Marsden, J. E. , Inestabilidades inducidas por la disipación en dimensiones finitas Rev. Mod. Phys. 79, nº 2, 519-553 (2007). ZBL1205.70002 .

Answer 3

Esto es un riff de mi respuesta a una pregunta similar en Math SE . De todos modos, parece que se ajusta mejor a esta pregunta.

Yo sostengo principalmente que es muy poco probable que se encuentre un ejemplo así. Para ello, veamos sus pasos y lo que implicarían en situaciones prácticas:

1. La falta de rigor llevó a una afirmación errónea (según el "estándar actual") en matemáticas puras.

Los enunciados erróneos de la matemática pura se hacen por una razón, a saber, que se sostienen en la mayoría de los casos que al matemático en cuestión (y a sus compañeros, etc.) se le ocurren. Dado que los matemáticos suelen ser buenos para pensar en casos relevantes, esto significa que los casos en los que falla una afirmación de este tipo son relativamente pocos o sobresalen de los ejemplos inspirados en la aplicación. Sólo esto hace que sea poco probable que tal caso tenga importancia en la aplicación. Y eso sin hablar de los diversos casos en los que el contraejemplo no importa en absoluto en la realidad.

En casos como "toda función continua es 'mayormente' diferenciable" esto puede ser menos obvio. Lo trataré por separado más adelante.

2. Esa afirmación errónea fue correctamente aplicado a algún otro campo, o utilizado de alguna manera en los cálculos, etc.

La buena ciencia no se limita a aplicar las matemáticas en un sentido de fuego y olvido. Implica muchas pruebas prácticas, dobles comprobaciones, simulaciones, verificación de casos conocidos, reflexión sobre las condiciones y limitaciones matemáticas, etc. Esto no suele deberse a que las matemáticas subyacentes puedan ser erróneas, sino a que pueden aplicarse por la razón equivocada, etc. En cualquier caso, estas comprobaciones de seguridad también deberían encontrar el problema debido a una matemática subyacente errónea. De nuevo, esto puede fallar para encontrar el error, pero es poco probable.

Además, en una cantidad considerable de casos, la aplicación puede ocurrir al revés: Un científico hace una observación empírica y luego busca la matemática que permite demostrarla. Ahora bien, para permitir una observación empírica (verdadera), el enunciado matemático debe ser válido en un número considerable de casos relevantes, lo que hace poco probable que falle.

Por supuesto, en este caso pueden fallar muchas cosas, pero entonces se trata de matemáticas mal aplicadas, falta de rigor científico, etc.

3. A continuación, la conclusión del punto 2 se aplicó a una situación del mundo real, quizás en la construcción o la ingeniería.

Esto es principalmente como el paso 2: la ingeniería implica de nuevo un montón de pruebas, etc. que deberían detectar el problema.

Conclusión:

Así que, para que la falta de rigor provoque algún daño en la vida real, deben coincidir muchas cosas improbables. Sin embargo, se puede reducir un poco el número de coincidencias necesarias si se observa uno de esos pocos casos en los que las matemáticas se aplican de forma muy directa en un caso que no permite realizar pruebas exhaustivas (por ejemplo, los viajes espaciales).

Apéndice: ¿Qué pasa con los fractales?

Ahora puedes decir: "Los fractales son omnipresentes en la naturaleza y un contraejemplo de que toda curva continua es "mayormente" diferenciable". ( Esta otra respuesta se basa en esto). De esto se puede concluir que mi argumento de que los contraejemplos a las afirmaciones erróneas son escasos en la realidad no se sostiene.

Sin embargo, aplicar toda la noción de continuidad o diferenciabilidad a los objetos no atómicos es ya artificial de una manera que debería estar clara para todos los que aplican las matemáticas. Las fracturas reales, las líneas de costa, el romanesco, etc., están hechos de granos, células, átomos y similares, que a su vez no son continuos de una manera que se traduzca en el objeto macroscópico. Ojo, no se trata de la cuestión de si la realidad es continua o diferenciable, sino de cómo se manifiesta o se puede aplicar. Por ejemplo, si se trabaja con una derivada, no se trata de ella por sí misma, sino de un significado físico ligado a ella. Este significado físico no persiste hasta el final. Si trabajas suponiendo que tu objeto tiene una derivada con significado físico a estas escalas, estás cometiendo un error científico de todos modos.

Desde otra perspectiva, en la realidad no hay fractales en el sentido matemático. (Los fractales son "sólo" una forma muy buena de modelar ciertos fenómenos naturales, del mismo modo que la continuidad, las derivadas, etc.). Para cada aproximación realista de una curva no diferenciable en un objeto macroscópico, se encontrará una aproximación equivalente de una curva diferenciable.

Así que, para resumir, si alguien realmente está construyendo algo basado en la suposición de que las curvas continuas son "mayormente" diferenciables, comete al menos otro error científico.

Answer 4

Por ejemplo, ¿se ha caído algún puente porque se pensaba que toda función continua era diferenciable excepto en un conjunto de puntos aislados?

Probablemente

El papel "Comportamiento de fractura y daño del hormigón en el espacio fractal" compara la resistencia a la fractura del hormigón cuando se tienen en cuenta los fractales frente a cuando no se tienen en cuenta. Sus experimentos sugieren que el análisis fractal es más preciso, y que el enfoque no fractal suele sobrestimar la resistencia del hormigón (lo que obviamente es malo para los puentes).

Las funciones cuyas gráficas son fractales resultan ser ejemplos de funciones continuas que no son diferenciables. De hecho, el primer ejemplo conocido de una función de este tipo tenía una gráfica fractal. Por lo tanto, es plausible que un ingeniero de puentes, suponiendo que no existen tales funciones, sobreestimara la resistencia del hormigón, que fue la causa del fallo del puente. Sin embargo, es poco probable que pensara en aplicar también los fractales para determinar la causa del fallo, por lo que podemos tener problemas para encontrar ejemplos concretos.

En general, los fractales se dan con mucha frecuencia en la naturaleza. En muchos contextos, los fractales son lo único que se produce (intente encontrar una línea de costa natural que sea diferenciable). Por lo tanto, sospecho que el hormigón no es la única vez que esta suposición nos engaña gravemente.

Sin embargo, la aplicación que nos han proporcionado los fractales y la moderna teoría de las funciones es más fácil de demostrar. Y todo comenzó con una pregunta: ¿Cómo de rara puede actuar una función? Estar cegados por la "intuición" puede hacer que no veamos el bosque por los árboles que se comportan bien.