Discos pegajosos que caen como Tetris

Question

Supongamos que la unidad de radio de los discos caída vertical de $y=+\infty$, uno por uno, y crear una mezcla aleatoria de discos por encima de la $x$-eje. Cuando una caída en el disco golpea a otro, se detiene y se pega allí. De lo contrario, si el disco en el centro llegue a $y=0$, el disco deja de con su centro de reposo en el $x$-eje. Aquí es un ejemplo de 1000 discos de caer uniformemente al azar $x$-ubicaciones dentro de $[-50,50]$:
         
Hay muchas preguntas que uno se podría preguntar acerca de este (para mí) hermosa y fascinante estructura (por ejemplo, acerca de su contacto en el gráfico), pero para ser más específicos, deja que me concentre en una sola cantidad: la altura máxima $h_{\max}$ como una función del número de discos de $n$ y el $x$-rango de $R$. (En el ejemplo de arriba, $R=100$ e $h_{\max}=94.9$.) Parece que $h_{\max}$ crece linealmente, con $h_{\max} \approx n \frac{10}{R}$. Aquí está la trama, donde cada punto es un promedio de diez ensayos:
                   
Dos preguntas:

Q1. Hay una explicación simple del crecimiento de $h_{\max}$?

Q2. Ha este proceso, o algo cercano a ello, se ha estudiado antes?

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En última instancia, estoy interesado en la determinación de la densidad de embalaje de aleatoriamente se peleaba formas, como hemos visto en la anterior pregunta MO "El promedio de grado de contacto con el gráfico de bolas en una caja." Pegajoso discos son un modelo muy sencillo, a lo largo de estas líneas.

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Actualización

(3Mar16). Un artículo de Ivan Corwin en KPZ universalidad acaba de aparecer (AMS Avisos PDF), incluyendo esta figura para ilustrar el "azar balísticos" modelo:

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Los usuarios ansobol y Nechaev y Jeremy Voltz anteriormente se señaló la relevancia de KPZ universalidad.

Answer 1

Un espacio discreto versión de su imagen (con casillas en lugar de círculos) ha sido estudiado bastante, conocido como Balísticos de Deposición. Aquí hay un video de el proceso en acción:

Balísticos Deposición en YouTube

Se cree que este proceso sea en el KPZ Universalidad de la clase, por lo que la ampliación del límite de la altura de la función puede ser descrito por el amplio Proceso de con $t^{1/3},t^{2/3}$ parámetros de la escala.

Aquí es una breve introducción a la teoría:

KPZ Universalidad de la Clase

Answer 2

Difusión limitada de agregación es diferente en que usted considere balísticos en lugar de difusivo de movimiento: el azar entra sólo a través de coordenadas x de la caída de los discos.

Tener una mirada en el papel de "Balística patrones de depósito debajo de una creciente KPZ interfaz" (http://arxiv.org/abs/1006.4576; sucede que soy uno de los autores, y va a pedir a mis colegas que están más versados en física estadística a unirse a la discusión). En particular, contiene algunas referencias a la literatura existente sobre balística crecimiento al azar.

Normalmente la gente está interesada en las fluctuaciones de la parte superior de la envolvente de la creciente clúster, ya que para muchos de estos modelos se cae en el `KPZ universalidad de la clase" (en el sentido de que con una adecuada reescalado a su continuo límite converge a un tipo de Airy proceso). En particular, el comportamiento de $h_{\mathrm{max}}$ es una superposición de dos fenómenos: el obviamente la escala lineal de la media de la altura y la dispersión de las alturas de alrededor que significa, que es descrito por el Tracy-Widom la ley.

Answer 3

La densidad aleatoria de una creciente pila es conocido, pero es modelo-dependiente y no universal. La dependencia lineal de la altura en número de depósito de bloques es evidente, sin embargo, el coeficiente de en frente de esta dependencia es el nuevo modelo-dependiente. El crecimiento puede ser visto como un especial secuencial de la multiplicación de la matriz como se describe en http://arxiv.org/abs/1110.3524/ que conduce a la dinámica de 1D Toda la cadena. Uno puede jugar con las diferentes versiones de este modelo, por ejemplo, suponiendo que no es sólo de la mano izquierda de la interacción. El perfil correspondiente será diferente, sin embargo las fluctuaciones será de nuevo de KPZ-tipo.

Answer 4

Que el crecimiento es asintóticamente lineal es clara. Pero si se mantiene la anchura $2R$ de la tira (sobre la que los centros son elegidos de manera uniforme) fijo, entonces la velocidad de crecimiento de las $c_R$ no es estrictamente proporcional a $R^{-1}$. Esto es claro cuando el pensamiento a la poca anchura del caso: si $R<1$, entonces no es sólo una rama en el árbol, porque dos discos consecutivos, siempre toque. Si $d$ es la distancia entre sus centros, entonces van a arreglar con una altura de la brecha de igual a $\sqrt{4-d^2}$. Debido a que la distribución de $d$ tiene una densidad de $$\frac{2R-d}{2R^2},$$ nos encontramos con que el crecimiento promedio de la velocidad $$\frac1n\sum_1^nd_j$$ tiende a la expectativa de $\sqrt{4-d^2}$: $$c_R=\int_0^{2R}\sqrt{4-x^2}\frac{2R-x}{2R^2}dx.$$ Cálculo da $$c_R=\frac2R\sin^{-1}R+2\sqrt{1-R^2}+\frac4{3R^2}\left((1-R^2)^{3/2}-1\right).$$ Como era de esperar, $c_R\rightarrow2$ as $R\rightarrow0$. Por otro lado, $c_1=\pi-\frac43$.

Presumiblemente, el OP está interesado con $\gamma=\lim_{R\rightarrow+\infty}Rc_R$.

Answer 5

Respecto a la pregunta de

Ha este proceso, o algo cercano a ello, se ha estudiado antes?

Recientemente se me hizo consciente de un intrigante y enfoque de Bob Macpherson y su post-doc Ben Schweinhart en la IAS para la investigación de Browniano de los árboles a través de la topología computacional en esta pre-impresión. Dado que la investigación es topológico, no va a dar respuestas a su pregunta sobre la altura máxima, pero es la captura de otras interesantes estadísticas globales.

La idea central es permitir una difusión limitada proceso de agregación de carrera por un tiempo y generar una configuración similar a la de la imagen, pero que carecen de cualquier lazos de ningún tipo. Esencialmente, cada vez que un disco de caer desde el infinito crea un ciclo, se descarta. Sin embargo, esta descartando paso no es necesario para el posterior análisis y por tanto también se aplicaría a su (considerablemente loopier) situación.

En cualquier caso, una vez que el proceso ha seguido su curso, y genera un espacio que consta de la unión de las bolas, que comienzan a crecer los radios de estas bolas (que permite la superposición de curso). Como aumentar estas radios, la homología de los cambios espaciales: algunos bucles forma, otros llenos y así sucesivamente. Es posible inequívocamente asociado a (nacimiento, muerte) el intervalo para cada bucle a través de la teoría de la homología persistente.