¿Qué parte del ATLAS de los grupos finitos se comprueba de forma independiente y/o se verifica por ordenador?

Question

En un charla reciente Serre hizo algunos comentarios sobre las pruebas que se basan en la clasificación de los grupos simples finitos (CFSG) y en el ATLAS de grupos finitos . Concretamente, dijo que una prueba que se basara en el CFSG y lo dijera estaba bien, pero una prueba que se basara en el ATLAS no estaba tan bien, porque el contenido no ha sido verificado completamente de forma independiente, y tiene como base cálculos antiguos de ordenador y otros que sólo se han hecho una vez.

Teniendo en cuenta los (¿numerosos?) pequeños errores se han encontrado a lo largo del tiempo En el caso de los cálculos informáticos, sería bueno tener un registro definitivo de los bits que han sido calculados o probados en otro lugar, o verificados formalmente, y si es así, dónde y por quién (con código para este último caso). Hay que tener en cuenta que el mero hecho de poder hacer algunos cálculos en GAP no es suficiente, ya que, como la documentación dice

Parte de las construcciones han sido documentadas en la literatura sobre grupos casi simples, o los resultados han sido utilizados en tales publicaciones, ver por ejemplo las referencias en [CCNPW85] y [BN95].

donde CCNPW85 es el ATLAS y BN95 es la versión de Breuer y Norton Mejoras en el Atlas (en un apéndice de Atlas de los personajes de Brauer ).

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EDITAR Como puede que no haya quedado claro, buscaba afirmaciones basadas en lo siguiente:

• "Todos los resultados sobre grupos clásicos de tipo Lie son bien conocidos y están documentados en otros lugares"
• "Todos los resultados sobre las clases de conjugación de los grupos esporádicos, excepto Janko 4 [digamos], se calculan de nuevo y están contenidos en el paquete informático X"
• "Los resultados sobre [bla] acerca de [algún grupo] son sólo contenidas en el ATLAS, y ningún documento o programa informático independiente las ha reproducido/recalculado"

Si es más fácil especificar qué es sólo en el ATLAS entonces sería bueno, ya que claramente gran parte del material clásico sería conocido y calculado mucho antes.

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EDITAR Mayo 2017 En una reciente charla ( Youtube - los primeros minutos sólo antes de la charla principal) Serre menciona sus comentarios discutidos aquí, el hecho de que la gente se exaltó por ello, y el papel en la respuesta de Farrokh Shirjian que considera que responde a sus quejas.

Answer 1

A diferencia de Dima, me inclino por estar de acuerdo con Serre en este punto. Aunque la mayoría de los hechos registrados en el ATLAS han sido demostrados en otros lugares o, en el caso de todas las tablas de caracteres excepto las de los grupos muy grandes como el Monstruo, pueden ser fácilmente recalculados en GAP o Magma usando algoritmos estándar para grupos finitos, puede ser muy difícil en algunos casos rastrear pruebas alternativas.

Recientemente he terminado un libro (en coautoría con John Bray y Colva Roney-Dougal) en el que se calculan listas completas de subgrupos maximales de grupos clásicos casi simples en dimensiones hasta $12$ y nos enfrentamos a este problema. Aunque citamos el ATLAS muchas veces, nos esforzamos por proporcionar citas alternativas o, en el caso de hechos que pudieran comprobarse fácilmente por ordenador, proporcionamos un código para hacerlo. De hecho, casi todos los datos que necesitábamos eran sobre subgrupos máximos de grupos en el ATLAS o implicaban entradas en tablas de caracteres. Para los grupos esporádicos había prácticamente siempre documentos alternativos que citar, que generalmente también se citaban en el ATLAS.

Tuvimos más dificultades con cosas como los subgrupos máximos de extensiones casi simples de algunos de los grupos clásicos más complicados en el ATLAS, como $U_4(3)$ . No siempre pudimos encontrar fuentes alternativas que ofrecieran información suficientemente precisa, y se nos dijo de manera informal que algunos de los datos habían sido calculados originalmente por estudiantes de investigación o PostDocs no identificados. Así que nos esforzamos por volver a comprobar estos datos.

Dicho esto, hemos encontrado muy pocos errores en el ATLAS. Creo que puede haber habido una o dos imprecisiones muy pequeñas y menores en algunas de las descripciones de las estructuras, de las que informamos a los autores, y creo que ellos ya las conocían. Veo que hay una conferencia "ATLAS 30 años después" que se celebrará en Princeton en noviembre de 2015, así que tal vez esto conduzca a una mayor discusión de estas cuestiones.

También debería reforzar el punto señalado por David Roberts de que hay que ser muy cauteloso cuando se utilizan sistemas de álgebra computacional, como GAP y Magma, para verificar hechos contenidos en fuentes como el ATLAS, porque es posible que el código utilizado se base a su vez en estas fuentes. Por ejemplo $\mathtt{ MaximalSubgroups}$ en Magma generalmente buscará los subgrupos máximos de los factores de composición del grupo en una base de datos, que se habrá construido utilizando el ATLAS. Sin embargo, el uso por defecto de $\mathtt{CharacterTable}$ en un grupo finito utilizará un algoritmo de propósito general (como Dixon-Schneider), que no depende de propiedades de grupos específicos (simples).

Answer 2

El Atlas era una obra de erudición, no de investigación. Nuestro objetivo en aquella época era recopilar información por conveniencia, y las grandes tablas de caracteres, y todos los demás datos, estaban probados. El hecho de que hubiera tantos errores se debe a un error humano, tanto en nuestras fuentes como en nuestro propio trabajo.

No obstante, ahora sería posible volver a calcular gran parte de ella con bastante facilidad y, en particular, calcular las tablas de caracteres de matrices o permutaciones dadas explícitamente sería menos heroico ahora que hace 30 años. El resultado sería que existe un grupo con las propiedades probadas. Si alguien quiere intentarlo, me encantaría ayudar.

La parte de la "singularidad" es más difícil. Hay muchos trabajos publicados sobre las propiedades de los grupos simples, y la definición del grupo estudiado tendría que estar conectada de alguna manera con los datos (re)calculados. Esto requeriría más trabajo. Por ejemplo, habría que demostrar para el primer grupo de Conway que las matrices de 24x24 utilizadas para definir el grupo fijan un entramado unimodular par en 24 dimensiones con norma mínima 4 y que existe un centralizador de involución de la forma 2.1+8.O8+(2), etc.

No hay duda de que el proyecto es factible, y tuve una breve discusión con Serre sobre el tema. Esperemos que alguien se preocupe lo suficiente como para llevarlo a cabo.

Answer 3

También puede valer la pena mirar el documento

T. Breuer, G. Malle y E. A. O'Brien, Fiabilidad y reproducibilidad de la información del Atlas Matemáticas contemporáneas 694 (2017) pp 21-31, doi: 10.1090/conm/694/13960 , arXiv: 1603.08650

en el que se discute la fiabilidad y reproducibilidad de gran parte de la información contenida en el Atlas de Grupos Finitos.

Answer 4

En la reciente conferencia "Conway y los Atlas", celebrada en Princeton, se comentó que los ordenadores pueden comprobar fácilmente todo lo que aparece en el Atlas hasta aproximadamente J4. En cuanto a las referencias, cabe señalar que, si bien la bibliografía del Atlas original tiene ya treinta años, en el Atlas de caracteres Brauer de Jansen, Lux, Parker y Wilson, publicado diez años después, se ofrece una actualización muy completa. También cabe señalar que, aunque la edición más antigua del Atlas contiene numerosos errores, las ediciones más recientes contienen una sección de "addenda y corrigenda" que corrige muchos de ellos, siendo el más grave la omisión de algunas columnas de una tabla de caracteres.

Answer 5

Tengo que discrepar con Serre (o con tu forma de interpretar sus palabras) en este punto. No hay trabajos que se basen en "el" Atlas, inevitablemente sólo utilizan una pequeña parte, por ejemplo, la tabla de caracteres de un grupo concreto, información sobre la estructura de un subgrupo concreto en un grupo concreto, etc. Como tal, es totalmente aceptable para un trabajo de este tipo; de hecho, probablemente hay pocos lugares en el Atlas que no se hayan comprobado de forma independiente, pero estos probablemente no se utilicen casi nunca.

El Atlas es un atlas - como todos los mapas, hay algunos pequeños errores aquí y allá, pero aun así es más fiable que un teorema (CFSG) con una demostración tan larga que probablemente se puedan contar con los dedos de una mano las personas que lo entienden con todo detalle...

Y decir que uno no debe confiar en Atlas para información que es bien conocida, por ejemplo, los subgrupos máximos de grupos simples esporádicos "pequeños", algo que fue comprobado independientemente en muchas fuentes, es simplemente una tontería. Además, muchos cálculos de las tablas de caracteres fueron rehechos de forma independiente, por gente que trabaja en GAP y Cayley (Magma), y muchas tablas del Atlas para grupos no esporádicos se derivan de la teoría general (por ejemplo, las tablas de caracteres de los grupos alternos no son algo que no se pueda encontrar en otra parte).