¿Hay un ejemplo de un polinomio irreducible$f(x) \in \mathbb{Q}[x]$ con una raíz real expresable en términos de radicales reales y otra raíz real no expresable en términos de radicales reales?
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dmnc
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La respuesta a la pregunta es sí (por lo que la respuesta al título es no) y voy a dar un ejemplo más adelante.
Permítanme en primer lugar recordar un par de resultados. La primera de ellas es la siguiente, que se puede encontrar en [Cox, la Teoría de Galois, el Teorema de 8.6.5].
Teorema 1. Deje $F$ ser un subcampo de la $\mathbb{R}$ y deje $f \in F[x]$ ser un polinomio irreducible con la división de campo de $F \subset L \subset \mathbb{R}$. Entonces las siguientes condiciones son equivalentes.
(1) Algunos raíz de $f$ es expresable por real radicales sobre $F$.
(2) Todas las raíces de $f$ son expresables por real radicales sobre$F$, en el cual sólo las raíces cuadradas aparecen.
(3) $[L:F]$ es una potencia de $2$.
Por lo tanto, si $f$ se divide completamente en $\mathbb{R}$, la existencia de una raíz expresable por real radicales de las fuerzas de todas las raíces a ser así.
Por otro lado, cuando se $f$ no se abre completamente en $\mathbb{R}$ esto ya no es cierto. Déjenos estado de nuestro segundo resultado, que se puede encontrar en
[A. Loewy, Über die Reduktion algebraischer Gleichungen durch Adjunktion insbesondere reeller Radikale, Matemáticas. Zeitschr. 15, 261-273 (1922)],
véase también la Cox libro, el Teorema de 8.6.12.
Teorema 2. Deje $F$ ser un subcampo de la $\mathbb{R}$ e $f \in F[x]$ irreducible de grado $2^mn$, con $n$ impar. A continuación, $f$ tiene más de $2^m$ raíces expresable por real radicales sobre $F$.
En particular, cuando se $f \in \mathbb{Q}[x]$ es irreductible y de grado impar, el Teorema 2 implica que en la mayoría de los una de las causas de $f$ es expresable por real radicales. Tenga en cuenta que si el grado es$3$, entonces el Teorema 2 es consistente con la de las fórmulas de Cardano, y si el grado es una potencia de $2$, entonces es coherente con el Teorema 1.
Finalmente, demos el ejemplo siguiente, respondiendo a la pregunta, que se puede encontrar en Loewy del documento citado anteriormente, en la página 272. Consideremos el polinomio $$x^6+6x^4-234x^2-54x-3 =(x^3+(3+9 \sqrt{3})x+ \sqrt{3})(x^3+(3-9 \sqrt{3})x- \sqrt{3}).$$ Es irreducible sobre $\mathbb{Q}$ por el criterio de Eisenstein y tiene una raíz real expresable por real radicales, tres raíces reales no expresable por real radicales y dos raíces complejas.
Gerry Myerson
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ADVERTENCIA: Sigue una respuesta incorrecta, según los comentarios. Se mantuvo aquí para disuadir a otros de cometer el mismo error.
Quizás$$x_1=\sqrt{2+2^{1/4}}+\sqrt{2-2^{1/4}},\quad x_2=\sqrt{2+i2^{1/4}}+\sqrt{2-i2^{1/4}}$$ are real numbers, solutions of $ \ bigl ((x ^ 2-4) ^ 2-16 \ bigr) ^ 2 = 32 $, uno expresado usando radicales reales, el otro, no.
