¿El determinante es igual a un determinante?

Question

Deje que$\det_d = \det((x_{i,j})_{1 \leq i,j\leq d})$ sea el determinante de una matriz genérica$d \times d$. Supongamos que$k \mid d$,$1 < k < d$. ¿Se puede escribir$\det_d$ como el determinante de una matriz de formas$k \times k$ de grado$d/k$?

Incluso escribir$\det_4$ como el determinante de una matriz$2 \times 2$ de formas cuadráticas parece imposible, solo intuitivamente. El espacio de$2 \times 2$ matrices de formas cuadráticas en$16$ variables tiene dimensión$4 \cdot \binom{17}{2} = 544$, mientras que el espacio de cuartos en$16$ variables tiene dimensión$\binom{19}{4} = 3876$.

Answer 1

Voy a trabajar sobre un campo de característica $0$, de modo que reductiva algebraicas grupos son linealmente reductivo; presumiblemente, existe una manera de eliminar esta hipótesis. En este caso, para un entero $n>1$ y por un divisor $m$ tal que $n>m>1$, allí no existe $f$ anterior. El punto es considerar el lugar crítico de la determinante. El cálculo a continuación demuestra que "cohomology con apoyos" ha cohomological dimensión igual a $2(n-1)$ para el par de la cuasi-afín esquema de $\textbf{Mat}_{n\times n} \setminus \text{Crit}(\Delta_{n\times n})$ y su cerrado subconjunto $\text{Zero}(\Delta_{n\times n})\setminus \text{Crit}(\Delta_{n\times n})$. Desde el pushforward bajo afín morfismos preservar cohomology de cuasi coherente de las poleas, que conduce a una contradicción.

Indicar el $m\times m$ determinante polinomio por $$\Delta_{m\times m}:\textbf{Mat}_{m\times m} \to \mathbb{A}^1.$$ For integers $m$ and $n$ such that $m$ divides $n$, you ask whether there exists a homogeneous polynomial morphism $$f:\textbf{Mat}_{n\times n}\to \textbf{Mat}_{m\times m}$$ of degree $n/m$ such that $\Delta_{n\times n}$ equals $\Delta_{m\times m}\circ f$. Of course that is true if $m$ equals $1$: just define $f$ to be $\text{Delta}_{n\times n}$. Similarly, this is true if $m$ equals $n$: just define $f$ to be the identity. Thus, assume that $2\leq m < n$; this manifests below through the fact that the critical locus of $\Delta_{m\times m}$ is nonempty. By way of contradiction, assume that there exists $f$ with $\Delta_{n\times n}$ equal to $\Delta_{m\times m}\circ f$.

Lema 1. La inversa de la imagen en $f$ de % de $\text{Zero}(\Delta_{m\times m})$ es igual a $\text{Zero}(\Delta_{n\times n})$. En otras palabras, la imagen inversa bajo $f$ de la legitimación de las matrices con la nulidad $\geq 1$ es igual a la de locus de matrices con nulidad $\geq 1$.

Prueba. Este es inmediata. QED

Lema 2. La inversa de la imagen en $f$ de la crítica, el locus de $\Delta_{m\times m}$ es igual a la crítica locus de $\Delta_{n\times n}$. En otras palabras, la imagen inversa bajo $f$ de la legitimación de las matrices con la nulidad $\geq 2$ es igual a la de locus de matrices con nulidad $\geq 2$.

Prueba. Por la Regla de la Cadena, $$d_A\Delta_{n\times n} = d_{f(A)}\Delta_{m\times m}\circ d_Af.$$ Thus, the critical locus of $\Delta_{n\times n}$ contains the inverse image under $f$ of the critical locus of $\Delta_{m\times m}$. Since $m\geq 2$, in each case, the critical locus is the nonempty set of those matrices whose kernel has dimension $\geq 2$, this critical locus contains the origin, and this critical locus is irreducible of codimension $4$. Thus, the inverse image under $f$ of the critical locus of $\Delta_{m\times m}$ is nonempty (it contains the origin) and has codimension $\leq 4$ (since $\textbf{Mat}_{m\times m}$ is smooth). Since this is contained in the critical locus of $\Delta_{n\times n}$, and since the critical locus of $\Delta_{n\times n}$ is irreducible of codimension $4$, the inverse image of the critical locus of $\Delta_{m\times m}$ equals the critical locus of $\Delta_{n\times n}$. QED

Denotar por $U_n\subset \text{Zero}(\Delta_{n\times n})$, resp. $U_m\subset \text{Zero}(\Delta_{m\times m})$, el abierto de complemento de la crítica locus, es decir, el lugar geométrico de las matrices cuyo núcleo tiene dimensión precisamente igual a $1$. Por el Lema 1 y el Lema 2, $f$ restringe a un afín de morfismos $$f_U:U_n\to U_m.$$

La proposición. El cohomological dimensión de la gavilla cohomology de cuasi coherente gavillas en la cuasi-afín esquema de $U_n$ es igual a $2(n-1)$.

Prueba. El cuasi-afín esquema de $U_n$ admite un morfismos, $$\pi_n:U_n \to \mathbb{P}^{n-1}\times (\mathbb{P}^{n-1})^*,$$ sending every singular $n\times n$ matrix $A$ parameterized by $U_n$ to the ordered pair of the kernel of $A$ and the image of $A$. The morphism $\pi_n$ is Zariski locally projection from a product, where the fiber is the affine group scheme $\textbf{GL}_{n-1}$. In particular, since $\pi_n$ is affine, the cohomological dimension of $U_n$ is no greater than the cohomological dimension of $\mathbb{P}^{n-1}\times (\mathbb{P}^{n-1})^*$. This equals the dimension $2(n-1)$.

Más precisamente, $U_n$ es al mismo tiempo el principal paquete para ambos grupos esquemas más de $\mathbb{P}^{n-1}\times(\mathbb{P}^{n-1})^*$ que son los pullbacks a través de las dos proyecciones de $\textbf{GL}$ de la tangente paquete. Concretamente, para una fija $1$-dimensión del subespacio $K$ de la $n$-dimensional espacio vectorial $V$ -- el núcleo, y por un fijo de codimension $1$ subespacio $I$ -- la imagen, el conjunto de invertible lineal mapas de $V/K$ a $I$ es al mismo tiempo el principal paquete de bajo precomposición por $\textbf{GL}(V/K)$ y un director bulto bajo postcomposition por $\textbf{GL}(I)$. En particular, el pushforward de la estructura de la gavilla, $$\mathcal{E}_n:=(\pi_n)_*\mathcal{O}_{U_n},$$ es un cuasi-coherente gavilla que tiene un inducida por la acción de cada uno de estos esquemas.

El invariantes para cada una de estas acciones es justo $$\pi_n^\#:\mathcal{O}_{\mathbb{P}^{n-1}\times (\mathbb{P}^{n-1})^*}\to \mathcal{E}_n.$$ Concretely, the only functions on an algebraic group that are invariant under pullback by every element of the group are the constant functions. The group schemes and the principal bundle are each Zariski locally trivial. Consider the restriction of $\mathcal{E}_n$ on each open affine subset $U$ where the first group scheme is trivialized and the principal bundle is trivialized. The sections on this open affine give a $\mathcal{O}(U)$-linear representation of $\textbf{GL}_{n-1}$. Because $\textbf{GL}_{n-1}$ is linearly reductive, there is a unique splitting of this representation into its invariants, i.e., $\pi_n^\#\mathcal{O}(U)$, and a complementary representation (having trivial invariants and coinvariants). The uniqueness guarantees that these splittings glue together as we vary the trivializing opens. Thus, there is a splitting of $\pi_n^\$ as a homomorphism of quasi-coherent sheaves, $$t_n:(\pi_n)_*\mathcal{O}_{U_n} \to \mathcal{O}_{\mathbb{P}^{n-1}\times (\mathbb{P}^{n-1})^*}.$%$

Para cada invertible gavilla $\mathcal{L}$ a $\mathbb{P}^{n-1}\times (\mathbb{P}^{n-1})^*$, esta división de $\mathcal{O}$-módulos da lugar a una división, $$t_{n,\mathcal{L}}:(\pi_n)_*(\pi_n^*\mathcal{L})\to \mathcal{L}.$$ In particular, for every integer $q$, this gives rise to a surjective group homomorphism, $$H^q(t_{n,\mathcal{L}}):H^q(U_n,\pi_n^*\mathcal{L}) \to H^q(\mathbb{P}^{n-1}\times (\mathbb{P}^{n-1})^*,\mathcal{L}) .$$

Ahora vamos a $\mathcal{L}$ ser un dualizing invertible gavilla en $\mathbb{P}^{n-1}\times (\mathbb{P}^{n-1})^*.$ Esto tiene un valor distinto de cero cohomology en grado $2(n-1)$. Por lo tanto, la cohomological dimensión de la gavilla cohomology de cuasi-coherentes $\mathcal{O}_{U_n}$-módulos también es igual a $2(n-1)$. QED

Desde $f_U$ es afín, el cohomological dimensión para $U_n$ no es mayor que el cohomological dimensión para $U_m$. Sin embargo, por la proposición, la cohomological dimensión para $U_m$ es igual a $2(m-1)$. Desde $1<m<n$, esto es una contradicción.

Answer 2

Creo que un resultado de Hochster permite obtener una rápida prueba de que no es posible expresar el determinante de la genérica $d \times d$ de la matriz como el determinante de a $k \times k$ matrices con entradas de ser homogénea de las formas de grado $\dfrac{d}{k}$, siempre que $1 <k <d$.

Voy a trabajar sobre un algebraicamente cerrado de campo. Apoyándose en un cohomological métodos (similares a las de Jason Starr está utilizando en su respuesta), Hochster demostrado que la variedad de $n \times n$ matrices con $\textrm{rank} < n-1$ se puede establecer-en teoría, se define por $2n$ ecuaciones y no menos (consulte este documento por Bruns y Schwänzl cierta mejora de Hochster del resultado : http://www.home.uni-osnabrueck.de/wbruns/brunsw/pdf-article/NumbEqDet.published.pdf).

Ahora, vamos a proceder por absurdo. Suponga que el determinante de la genérica $d \times d$ matriz puede ser escrito como el factor determinante de la $k \times k$ matriz (decir $A$) con formas homogéneas de grado $\dfrac{d}{k}$. Asumimos $1 < k < d$. Denotamos por $P_1, \ldots, P_{k^2}$ las entradas de $A$, los cuales son polinomios homogéneos en $x_1, \ldots, x_{d^2}$ grado $\dfrac{d}{k}$.

Deje $B$ ser el genérico $k \times k$ matriz con entradas de $Y_1, \ldots, Y_{k^2}$. Denotar por $Q_1, \ldots Q_{k^2}$ la $k-1$ menores de $B$. La variedad definida por la desaparición de las $\{Q_i\}_{i=1\ldots k^2}$ es no vacío de codimension $4$ en $\mathbb{A}^{k^2}$ (aquí yo uso ese $k>1$). Por lo tanto, si sustituimos $Y_i$ por $P_i(x_1, \ldots, x_{d^2})$, vemos que el esquema definido por la desaparición de las $\{Q_i(P_1,\ldots,P_{k^2})\}_{i=1 \ldots k^2}$ ha codimension en la mayoría de las $4$ en $\mathbb{A}^{d^2}$.

Además, un simple cálculo de derivadas parciales muestra que el esquema definido por la desaparición de las $\{Q_i(P_1,\ldots,P_{k^2})\}_{i=1 \ldots k^2}$ está incluido en la singular, el locus de la variedad definida por $\det A = 0$. Pero $\det A$ es el determinante de la genérica $d \times d$ matriz, por lo que su singular locus es la variedad de matrices de $\textrm{rank} < d-1$ : es irreductible de codimension $4$ en $\mathbb{A}^{d^2}$.

A partir de lo anterior, podemos deducir que la variedad de $d \times d$ matrices de $\textrm{rank} < d-1$ es set-teóricamente igual al esquema definido por el $\{Q_i(P_1,\ldots,P_{k^2})\}_{i=1 \ldots k^2}$.

Por Hochster del resultado (la existencia de la parte), uno puede encontrar la $2k$ polinomios (decir $T_1, \ldots, T_{2k}$) en el ideal generado por $Q_1, \ldots, Q_{k^2}$ tal que $$\textrm{rad}(T_1, \ldots, T_{2k}) = \textrm{rad}(Q_1, \ldots, Q_{k^2}).$$

La sustitución de $Y_i$ por $P_i(x_1,\ldots, x_{d^2})$ en la $\{T_j\}_{j=1 \ldots 2k}$, nos encontramos con que la desaparición de las $\{T_j(P_1, \ldots, P_{k^2}) \}_{j=1 \ldots 2k}$ define el conjunto-en teoría, la variedad de $d \times d$ matrices de $\textrm{rank} < d-1$. Desde $2k < 2d$, obtenemos una contradicción con Hochster del resultado.

Answer 3

Esta no es una respuesta, pero es demasiado grande para ser un comentario.

Permítame escribir su matriz$X$ en bloque$(M_{\alpha\beta})_{1\le\alpha,\beta\le k}$, donde los bloques son$k/d\times k/d$. Si los bloques$M_{\alpha\beta}$ se conmutan entre sí, entonces$$\det X=\det((d_{\alpha\beta})_{1\le\alpha,\beta\le k}$ $ donde$d_{\alpha\beta}:=\det M_{\alpha\beta}$.

Un caso particular de esta propiedad es la fórmula$\det(A\otimes B)=(\det A)^m(\det B)^n$ donde$m$ es el tamaño de$B$,$n$ el de$A$ (¡Gracias a Suvrit!).

En cuanto al caso general, supongo que la respuesta a su pregunta es negativa.

Answer 4

La respuesta es que si $1 < k < d$, luego esta matriz es equivalente a una matriz diagonal con $\det(x_{ij})=: D$ en la diagonal, y el resto de las entradas de la diagonal igual a $1$. Esto no requiere que el $k$ divide $d$.

La razón es la siguiente: Si $M$ es $k\times k$ matriz con entradas desde el polinomio anillo de $S$ en la $x_{ij}$ más de algún campo y $\det M = D$, entonces el cokernel de $M$, vista como una $S$-lineal mapa de $S^k$ a $S^k$ define un máximo de Cohen--Macaulay módulo de rango uno sobre la hipersuperficie anillo de $R=S/(D)$, que generan en la mayoría de las $k$ elementos. Para esta declaración de ver Eisenbud del papel MR0570778 (82d:13013).

En el libro de Bruns y Vetter en determinantal anillos MR0953963 (89i:13001) todos los reflexiva módulos de rango uno más de una determinantal anillo se determinen, y en la situación aquí muestran que sólo el cokernel de los genéricos de la matriz de sí mismo o de su transpuesta da un trivial máxima de Cohen-Macaulay módulo de rango uno. Sin embargo, estos necesitan, al menos, $d$ generadores.

El trivial módulo es sólo $R$ y en términos de matrices significa que $k<d$ implica que el $M$ es equivalente a una matriz diagonal con $D$ en la diagonal, y el resto de la diagonal llenado por la $1$'s. (El caso que he olvidado en mi mensaje original...)

Otra interesante fuente de similar preguntas (y respuestas) es el artículo de G. Bergman MR2205070 (2006k:15037).

Answer 5

Como otros fascinantemente se establecieron negativo de la respuesta para la pregunta general, permítanme darles un comentario en determinada situación, cuando la respuesta es positiva.

Así que si uno tiene dxd matriz y d=k*n, podemos dividir la matriz en la matriz de nxn elementos que son kxk matrices. Ahora la declaración es - si estos elementos satisfacer ciertas relaciones de conmutación (es decir, los elementos de cada columna conmutan y cruz-diagonal conmutadores son iguales - ver Manin matriz), a continuación, $det_d = det_k det_n $ - es decir, primero calcular el determinante de la matriz de nxn cuyos elementos son matrices - obtener un kxk de la matriz como una respuesta y, a continuación,
calcular habitual kxk determinante de la tarde. (Véase la sección 5.5 de la página 36 aquí - lo siento para la auto-publicidad ).