Los límites inferiores (trunca) la transformada de Fourier de las funciones de módulo constante y limitada derivados

Question

Deje $f(x)=e^{i\phi(x)}$ definir una función de $[0,1]$ a la unidad compleja círculo a través de la real función suave $\phi(x)$. Además, esta función es periódica: $\phi(0)=\phi(1)=0\text{ mod }2\pi$ y se ha acotado instrumentos derivados para $x\in[0,1]$: $$\vert d\phi(x)/dx\vert\le \omega.$$ Consider the (truncated) Fourier transform of $f(x)$: $$\hat{f}(k)=\int_0^1 f(x) e^{ikx}dx.$$ ¿Cuál es el límite inferior de $E(K) := \Vert f\Vert_{L^2,[0,K]}$? Más explícitamente lo que es un límite inferior para $$E(K)= \int_0^K \vert \hat{f}(k)\vert^2 dk$$

Una pregunta similar se le ha preguntado y respondido aquí , donde no hay restricciones en $f$, resultando en un límite inferior de cero para el valor de $\vert \hat{f}(k)\vert$. En el caso de que $\phi(x)$ es una constante a trozos función es respondida aquí donde el problema es equivalente a delimitador de polinomios (incluso con los no-exponentes de números enteros) y está relacionada con los siguientes física de papel. A partir de las consideraciones físicas, espero que el límite inferior a depender de $\omega$.

Sospecho que:

1. el límite inferior de las escalas proporcionales a $1/(\omega)^2$ de las grandes suficientemente $\omega$, pero podría estar fuera.
2. un límite inferior podría ser mejor descrita por una cantidad diferente de otras que las derivadas que me ha proporcionado: otro tipo de complejidad, tendrá que ir en $\phi(x)$.
3. Esto podría estar relacionado con algún principio de incertidumbre como la que queremos minimizar el apoyo de $\hat{f}$. Lema 3, en Terry Tao de la entrada de un blog sobre Hardy Principio de Incertidumbre parece estar relacionado con la excepción de que sólo funciona incluso las derivadas de orden y la conexión es vago de todos modos.
4. Me falta un punto trivial. Tal vez de módulo constante, periódico, etc, es innecesaria y puede decir algo directamente mediante el uso de $\sup\vert f(x)\vert$$\sup\vert f'(x)\vert$? Que sería algo anular mi siguiente pregunta.
5. Mi formación en la física automatizado de mí para discretizar el problema (es decir, la pieza sabio lineal $\phi(x)$) pero no tuvo éxito, aunque el enfoque que parecía prometedor. Ver 1 también.

¿Cómo podría yo encuentre las funciones de $\phi(x)$ que saturan el límite inferior?

Answer 1

Es un problema interesante, que está relacionada con algunos de los recientes trabajos de la mina. La razón por la que empecé a trabajar en problemas similares es porque las conexiones a un problema de Ramachandra en Dirichlet polinomios, las conexiones con el nórdico de la escuela de Hardy clases de Dirichlet de la serie (Hedenmalm, Saksman, Seip, Olsen, Olofsson, Lindqvist y otros), así como la universalidad de las preguntas para la zeta-funciones y sus propiedades en la línea de Re(s)=1.

Mientras que mis papeles no son del todo terminado, he puesto dos principios de preprints en mi página de inicio, On a problem of Ramachandra and approximation of functions by Dirichlet polynomials with bounded coefficients y On generalized Hardy classes of Dirichlet series. Me han hablado de algunos de estos problemas en la teoría analítica de números conferencias en la India. Como en el papel que he considerado de Dirichlet de la serie (debe ser posible obtener algo como Teorema 2.1 en su papel por mi método también, aunque no he declarado un análogo directo en mi papel).

Ahora su problema en la pregunta es bastante fácil para las pequeñas $\omega$ así que será a partir de ahora suponga que $\omega>1/2$. De hecho, si $\omega<1/2$, $|f(0)|>1/2$ $\int_0^K |\hat f(t)^2|dt \geq \min(1/10,K/10)$ (constantes que no fueron seleccionados en forma óptima)

En mis papeles en Dirichlet serie que he usado un método algo diferente de la que usan en su papel, a saber, el de la desigualdad de Jensen en el logarítmica integral en un semiplano. Este método es aplicable para el problema en cuestión. Lema 7 en mi papel `En la generalizada Hardy clases de Dirichlet de la serie" puede ser usado con $\sigma=0$ $L(it)=\hat f(-t)$ y obtenemos $$\frac D \pi \int_{-\infty}^\infty \frac {\log^- |\sombrero de f(t)|} {D^2+t^2} dt \leq \frac D \pi \int_{-\infty}^\infty \frac {\log^+ |\sombrero de f (t)|} {D^2+t^2} dt - \log |\sombrero de f(iD)|.$$ Resultados similares véase también Koosis - logarítmico integral. (Comentario 16 de Febrero: La desigualdad anterior es una igualdad si la función no es cero en la mitad del plano. La desigualdad se sigue de Jensen fórmula en un disco mediante la asignación de la mitad de un avión en el disco por el estándar de holomorphic bijection donde$iD$$0$) La razón por la que podemos hacer esto es que con la definición de la transformada de fourier en su pregunta significa que $\hat f(z)$ será un delimitada de la analítica de la función en la mitad del plano de Im$(z) \geq 0$.

Ahora en este caso también tenemos que $\log^+ |\hat f (t)|=0$ desde $|\hat f (t)| \leq 1$. Así, la desigualdad se simplifica a $$\frac D \pi \int_{-\infty}^\infty \frac {\log^- |\hat f(t)|} {D^2+t^2} dt \leq - \log |\hat f(iD)|.$$ No es demasiado difícil ver que para $\omega>1/2$ $$|\sombrero f(i\omega)|= \left|\int_0^1 e^{i \phi(x)-\omega x} dx \right|>\frac {1} {10 \omega}.$$ (La constante de $10$ no escogido de forma óptima). Por lo tanto podemos elegir $D=\omega$, y está claro que $$\int_0^K \log^- |\sombrero de f(t)| dt < \frac \pi {\omega} \left({\omega^2+K^2} \right) \frac {\omega} \pi \int_{-\infty}^\infty \frac {\log^- |\sombrero de f(t)|} {\omega^2+t^2} dt$$ A partir de estas estimaciones podemos ver que $$\frac 1 K \int_0^K \log^- |\sombrero de f(t)| dt< \frac {\pi(\omega^2+K^2)}{\omega K} \log (10 \omega).$$ Ahora podemos utilizar la desigualdad de Jensen $$\exp\left(\frac 1 K \int_0^K \log |\sombrero de f(t)| dt\right)< \sqrt{\frac 1 K \int_0^K |\sombrero de f(t)|^2 dt}$$ Podemos obtener el límite inferior $$K \left(\frac 1 {10 \omega} \right)^{2\pi (\omega^2+K^2)/(K \omega)} \leq \int_0^K |\sombrero de f(t)|^2 dt$$ para $\omega>1/2$. Si $c>2 \pi$ $\omega/K$ es lo suficientemente grande esto le da un límite inferior $$\omega^{-c \omega/K} \leq \int_0^K |\hat f(t)|^2 dt$$ que es más débil que su esperada $e^{-c \omega/K}$. Al menos tenemos una explícita límite inferior.

Actualizado 16 de Febrero: En el caso de que ambos $\omega$ $K$ son grandes, pero todavía se $\omega>K$ esto puede ser mejorado por el siguiente truco. Deje $g$ ser la convolución de $\hat f$ con un no negativos en la prueba de la función de $\Phi(t/K)$, de tal manera que $\hat \Phi(0)>0$ donde $\Phi$ tiene apoyo en $[0,1/2]$ . A continuación, utilice Jensen desigualdades en la función de $g$ en lugar de $\hat f$ anterior. La ventaja de esto es que se sigue entonces que $|\hat g(iw)| \gg K/\omega$, por lo que podemos obtener el límite inferior (por el uso de la desigualdad de Jensen w.r.t el L^1-norma en lugar de la L^2-norma.) $$(\omega/K)^{-c \omega/K} \leq \frac 1 K \int_0^{K/2} |g(t)| dt$$ para algunas constantes $c>0$. Desde $$g(t)=\int_0^t \Phi((t-x)/K) \hat f(x) dx$$ es evidente por la desigualdad de triángulo que $$\frac 1 K \int_0^{K/2} |g(t)| dt = \frac 1 K \int_0^{K/2} \left|\int_0^t \Phi((t-x)/K)\hat f(x) \right| dx \leq$$ $$\leq \frac 1 K \int_0^{K/2} |f(x)| dx \int_0^{K/2} |\Phi(x/K)| dx \leq c \int_0^{K/2} |\hat f(x)| dx$$ La desigualdad
$$K^{-1} (\omega/K)^{-c \omega/K} \leq \int_0^{K/2} |\hat f(t)|^2 dt$$ sigue por la de Cauchy-Schwarz desigualdad para algunas constantes $c>0$.

Esta fórmula consiste en cantidad adimensional $\omega/K$ como se esperaba. Ya que la función $E(K)$ es el aumento en el $K$ da el límite inferior $E(K) > C_0 K^{-1}>0$ $1 \leq \omega \leq K$ para algunos absoluta constante $C_0$.