Un diccionario de clases características y obstrucciones

Question

Pido disculpas de antemano ya que esta no es una pregunta a nivel de investigación sino más bien una que podría beneficiarse de la atención de expertos pero que podría ser útil principalmente para matemáticos principiantes.

En un esfuerzo por comprender las clases características, se me ocurrió compilar un breve diccionario que relacionara las clases características con sus obstáculos. Desafortunadamente, no encontré nada de este tipo en la web. Sería algo bueno si pudiéramos compilar tal lista aquí.

---

Sea $E \to B$ un haz vectorial real sobre una variedad compacta (por simplicidad):

• Clase de Euler ($E$ orientable): $E \to B$ tiene una sección que nunca se anula $ \implies e(E)=0 $.

• Clases de Stiefel-Whitney:

  • $w_1(E)=w_1(\det E)=0 \iff E$ es orientable.
  • $w_1(E) =w_2(E) = 0 \iff E$ tiene estructura spin.
  • $E$ tiene un subhaz trivial de rango $m$ $\implies$ $w_k=0$ para todo $k> rendimiento(E)-m$.
  • $E$ es orientable $\implies$ $w_{top} (E) = e(E) \text{ mod 2}$

• Clases de Pontryagin:

  • Para un haz vectorial spin $E$: $\frac{1}{2} p_1(E)=0 \iff E$ tiene estructura de cuerda.
  • Para un haz vectorial de cuerda $E$: $\frac{1}{6}p_2(E)= 0 \iff E$ tiene estructura de 5-brana.
  • Si $rendimiento(E)$ es par: $e(E) \cup e(E) = p_{top}(E)$

• Clases de Chern: Supongamos que $E \to B$ es ahora un haz vectorial complejo.

  • $E$ tiene un subhaz complejo trivial (¿o es hilo aquí?) de rango $m$ $\implies$ $c_k=0$ para todo $k> rendimiento(E)-m$.
  • $c_i(E)=w_{2i}(E_{\mathbb{R}}) \text{ mod 2}$.
  • $c_1(E) = c_1(\wedge^{top} E) = 0 \iff E$ tiene reducción del grupo de estructura a $U$. He leído en varios lugares que esto tiene algo que ver con la cantidad posible de espinores paralelos linealmente independientes. Nota $w_2( E_{ \mathbb{R}}) = c_1(E) = 0$ por lo que $E$ es spin en particular.
  • $c_{top}(E)=e(E_{\mathbb{R}})$

• Clase de Todd: ?

• Carácter de Chern: ?

• Clase de Wu: ?

Se aceptan adiciones y correcciones.

Answer 1

Las siguientes clases son de un sabor ligeramente diferente porque dependen de la elección adicional de una conexión.

Supongamos que $E\to B$ lleva una conexión plana $\nabla$. Entonces las clases de Kamber-Tondeur son obstrucciones contra la existencia de una métrica $\nabla$-paralela en $E$. En el caso de un haz de línea complejo, la primera clase de Kamber-Tondeur es la única obstrucción.

Los caracteres diferenciales de Cheeger-Simons de un haz vectorial $E\to B$ con conexión $\nabla$ son obstrucciones contra una trivialización paralela. Para un haz de línea complejo, la primera clase de Cheeger-Simons es la única obstrucción (de hecho, esta clase clasifica haces de línea complejos con conexiones).

Se debe tener en cuenta que las clases de Kamber-Tondeur pueden interpretarse como las partes imaginarias de los caracteres diferenciales de Cheeger-Simons.