Una función cuyos puntos fijos son los primos

Question

Si$a(n) = (\text{largest proper divisor of } n)$, deje que$f:\mathbb{N} \setminus \{ 0,1\} \to \mathbb{N}$ se defina por$f(n) = n+a(n)-1$. Por ejemplo, $f(100)=100+50-1=149$. Claramente, los puntos fijos de$f$ son los números primos.

¿Cada número es preperiódico? En otras palabras, ¿es$f(f(\ldots(f(n)\ldots))$ eventualmente primo?

Answer 1

El problema puede tener conexiones con 3x+1 problema. Para un entero, puedo asociar a $(p_0,p_1,\cdots)$ la secuencia de al menos un divisor primo de la duración de la secuencia de $u_{n+1}=f(u_n)$ que pueden tener las mismas propiedades como la función de paridad en el 3x+1 problema. Por ejemplo : el asintótica a la periodicidad de las $(p_n)$ es equivalente a la periodicidad de los $u_n$ (por lo tanto la convergencia). Me gustaría demostrar que para todos los compuestos entero,existe un primer que aparecen infinitly muchas veces en la secuencia de $(p_n)$. El uso de algunos asintótico de las estimaciones, no es difícil de probar: $\forall N>0,\exists p | card \lbrace n \in \mathbb N | p_n=p\geq N\rbrace $. No hace uso del hecho de que $p_n$ es el menor divisor de $u_n$.

Sería interesante disponer de otros dos teoremas "3x+1"-como : La secuencia de $(p_n)$ determina la $u_0$ e $\sum_{n=0}^{\infty}\prod_{k\leq n} \frac{p_k}{p_k +1}=u_0$ La suma converge, ya que tenemos la desigualdad $\sum_{n=0}^{\infty} \prod_{k\leq n} \frac{p_k}{p_k +1}\leq u_0$.

Yo estaría muy interesado por los vínculos entre la elección de una secuencia $(p_n)$, y la convergencia en un espacio adecuado de la primer suma. En el "3x+1"-equivalente sería $\sum \frac{2^{a_k}}{3^k}$ donde $a_k=$ número de condiciones antes de la $k^{th}$ extraño término, que converge en $\mathbb{Z}_2$. En el 3x+1 problema generalizado a $\mathbb{Z}_2$, la suma de establecer un bijection entre la paridad de las funciones y de las condiciones iniciales en $\mathbb{Z}_2$.

Por otra parte es cierto que para cualquier k-uplet del primer número de $(l_0,\cdots,l_N)$ existe una condición inicial tal que $p_i=l_i, i\leq N $.