¿En qué consiste la topología algebraica moderna (teoría de la homotopía)?

Question

En un nivel básico, la topología algebraica es el estudio de los espacios topológicos mediante invariantes algebraicos. La palabra clave aquí es "espacios topológicos". La topología algebraica (básica) es muy útil en otras áreas de las matemáticas, especialmente en la geometría (yo diría que en casi toda la geometría).

Yo no soy topólogo algebraico, así que sólo conozco las técnicas básicas. Sin embargo, me intriga la herramienta moderna de la teoría de la homotopía. Por ejemplo, tenemos la teoría de homotopía simplicial, en la que se estudian conjuntos simpliciales en lugar de espacios topológicos.

Según tengo entendido, las técnicas simpliciales son indispensables en la topología moderna. Luego tenemos la teoría axiomática de la homotopía teórica de modelos, la teoría de la homotopía estable, la teoría de la homotopía cromática. Recientemente, tenemos una versión topológica de la geometría algebraica, a saber, la geometría algebraica espectral, que ha demostrado ser útil para estudiar las formas modulares topológicas.

Pero cabe preguntarse para qué sirve. Son herramientas muy elegantes y a veces hermosas, pero ¿cuáles son exactamente las preguntas que la topología algebraica moderna pretende responder? Porque parece que ya no forma parte de la topología, sino que la topología es ahora una pequeña parte de la topología algebraica/teoría de la homotopía.

Por lo tanto, me gustaría conocer los objetivos y las perspectivas de la teoría moderna de la homotopía de quienes trabajan en ella. Espero que esta pregunta pueda ser útil para alguien más.

Answer 1

Aunque creo que André tiene razón al decir que la teoría de la homotopía (o la topología algebraica) está preparada para estudiar todo lo que encaja en el marco de la teoría de la homotopía abstracta, algunas cosas siguen ocupando un lugar especialmente importante en nuestro corazón. Especialmente cuando decimos topología algebraica en lugar de la teoría de la homotopía. Esto dice que mientras toda la teoría de categorías y todo el álgebra homológica pertenecen al estudio de $(\infty, 1)$ -categorías, no es ahí donde está nuestro objetivo.

Las raíces de nuestro tema se encuentran en el estudio de espacios agradables como los colectores. Las cuestiones importantes son:

1. ¿Podemos clasificar los colectores hasta alguna relación de equivalencia?
2. ¿Podemos entender los mapas entre colectores?

La relación de equivalencia más útil para la clasificación de las variedades es el bordismo y es también la base de la mayoría de los resultados de clasificación (los que utilizan la teoría de la cirugía). El cálculo de los grupos de bordismo fue un tema importante en la topología algebraica anterior y se realizó con éxito para algunos sabores bastante pronto ( $\Omega_O$ , $\Omega_U$ , $\Omega_{SO}$ ,...). Pero una de las variantes más importantes, tanto teóricamente como desde el punto de vista de la clasificación de los colectores, es bordismo enmarcado . Por un viejo teorema de Pontryagin, los grupos de bordismo enmarcados son isomorfos al grupos estables de homotopía de esferas , conectándolo con la segunda pregunta.

Se puede decir que gran parte de la topología algebraica se inventó o se puede utilizar para estudiar los grupos estables de homotopía de las esferas. Uno de los avances espectaculares más recientes en topología algebraica fue la solución de (la mayor parte) del problema del invariante 1 de Kervaire por parte de Hill, Hopkins y Ravenel sobre los colectores enmarcados/grupos estables de homotopía de esferas. Utilizaron una enorme cantidad de material para resolver este problema clásico: topología equivariante, teoría de la homotopía cromática, secuencias espectrales, espectros ortogonales, teoría de la homotopía abstracta, ...

Asimismo, las formas modulares topológicas $tmf$ tienen importantes aplicaciones a los grupos estables de homotopía de esferas y también al bordismo de cuerdas. Y para entender realmente $tmf$ tienes que estudiar algo de geometría algebraica espectral.

No quiero decir que toda la topología algebraica siga apuntando directamente a las cuestiones clásicas. En cuanto vemos una estructura interesante, también la estudiamos por sí misma; los nuevos fenómenos necesitan explicaciones y desarrollar marcos abstractos también es divertido. Pero al igual que en la relación entre las matemáticas y la física, afinar nuestras herramientas y explorar por pura curiosidad puede ser bastante útil para las cuestiones clásicas. Cuando la gente sustituyó los modelos más antiguos y en algunos aspectos más torpes de los espectros por los espectros simétricos y ortogonales, probablemente no tenían en mente ninguna aplicación directa a las variedades enmarcadas. Pero lo que hicieron Hill, Hopkins y Ravenel habría sido mucho más difícil sin estas herramientas en sus manos.

Answer 2

La teoría de la homotopía abstracta permite utilizar las herramientas de la teoría de la homotopía (por ejemplo, invertir equivalencias débiles, calcular colímites de homotopía, hacer la localización de Bousfield, tomar sustituciones fibrantes y cofibrantes, etc.) en muchos entornos diferentes. En algunos de estos entornos (por ejemplo, el álgebra homológica), no es una gran sorpresa que pueda hacerlo. Pero las configuraciones incluyen

• Teoría de la representación (a través de la categoría de módulos estables)
• Geometría algebraica (a través de la teoría de homotopía motivacional)
• Teoría de grafos (a través de los trabajos de Bissen y Tsemo)
• Teoría de las categorías (a través de los trabajos de Rezk, entre otros)
• Álgebra universal (mediante operadas de color y PROPs)
• Física matemática (mediante TQFTs)
• Sistemas dinámicos (a través de los trabajos de Gaucher sobre los flujos)
• Informática (a través del trabajo de David Spivak, entre otros)

Todas estas configuraciones forman categorías modelo, por lo que puedes llevar a cabo tus construcciones favoritas de la teoría de la homotopía. En cada entorno, los métodos de la teoría de la homotopía abstracta se han utilizado para demostrar nuevos teoremas. Creo que, como campo, tenemos que promocionarnos un poco mejor y mostrar a la gente de estas áreas que no estamos tratando de obligarles a utilizar nuestro lenguaje, sino que les ofrecemos algunas herramientas que podrían resultarles útiles.

Cuando se trabaja en el ámbito de la abstracción, es habitual tratar de especializarse para obtener resultados en algunas o todas estas áreas. La mayoría de los teóricos de la homotopía abstracta todavía se preocupan por los espacios topológicos y los espectros, por lo que incluirán ejemplos especializados en esos entornos en sus artículos. En cuanto a las preguntas que plantea la teoría de la homotopía abstracta, parece que hay varios tipos:

1. Encontrar nuevos ejemplos para añadir a la lista anterior, o demostrar que los ejemplos codifican la misma teoría de homotopía (si son categorías de modelos, esto es pedir una equivalencia de Quillen).
2. Tomar problemas en áreas de esa lista y tratar de resolverlos usando los métodos abstractos. Por ejemplo: la hipótesis del cobordismo, la conjetura de Milnor, la conjetura de Vandiver, el libro de Happel sobre teoría de la representación.
3. Computar grupos de homotopía, grupos algebraicos de K-teoría, cohomología de Tate, etc. En este caso, el entorno abstracto es lo que permite traer herramientas de secuencias espectrales y otros procesos computacionales transfinitos.
4. Desarrollar una estructura unificadora adicional, por ejemplo, encontrar la forma correcta de codificar alguna definición o teorema, de modo que recupere cosas aparentemente diferentes en los elementos de la lista anterior, demostrando que en realidad son casos especiales del mismo concepto general.

En cuanto a la diferencia entre las categorías de modelos y $\infty$ -categorías, parece que el campo se ha mantenido bastante civilizado sobre el hecho de que hay dos escenarios en los que se puede "hacer teoría de homotopía abstracta". Cada uno tiene puntos fuertes y débiles. Yo utilizo las categorías modelo porque me parece que se acercan más a mi intuición de los espacios, porque todos los ejemplos que me interesan son categorías modelo, porque tengo más herramientas que utilizar en ese entorno (por ejemplo, la sustitución fibrante/cofibrante) y porque siempre he podido hacer que las cosas funcionen en ese entorno. Si alguna vez intentara demostrar algo y quedara al margen por detalles técnicos, podría cambiar a $\infty$ -categorías si eso facilita la vida.

Answer 3

En respuesta al comentario de Ryan Budney, permítanme intentar decir algo sobre el análisis topológico de datos, y otras aplicaciones recientes de la topología algebraica fuera de las matemáticas tradicionales.

Topología algebraica aplicada ha existido en diversas formas durante muchos años. La primera vez que lo conocí fue durante mi formación en informática en El trabajo de Rob Ghrist . De hecho, escribí un Respuesta de MO en 2011 sobre su trabajo. El punto parece ser el cálculo eficiente de la cohomología de gavillas, con aplicaciones en ingeniería eléctrica. ¿Por qué gavillas? Lo ilustraré con un ejemplo. Por todo el país, un montón de teléfonos móviles en movimiento intentan conectarse a un montón de torres de telefonía. Las regiones que esas torres pueden alcanzar forman una cubierta de su espacio. Si un teléfono móvil está en un lugar que no está cubierto por ninguna torre, es una mala noticia, y usted quiere ser capaz de detectarlo. La homología ayuda, ya que encuentra agujeros. Y lo que es más importante, si un teléfono móvil está en una intersección, tiene muchas torres con las que hablar, y eso puede causar interferencias. La cohomología de la gavilla entra en juego aquí, y puede ayudar a diseñar mejores sistemas, detectar problemas de interferencia e incluso crear esquemas de codificación para solucionar la confusión que puede causar la interferencia.

Más recientemente, Grupo de Gunnar Carlsson en Stanford (y su empresa ) ha estado utilizando la topología algebraica para calcular sobre los datos (mi interés es que hoy en día enseño sobre todo estadística). Se llama Análisis de datos topológicos . Si alguna vez has asistido a un curso de estadística básica, sabrás que a menudo utilizamos la regresión lineal, es decir, encontramos la línea que mejor se ajusta y la utilizamos para hacer predicciones sobre los valores de x cuando no tenemos datos. Si los datos no son lineales, los transformamos (mediante logaritmos, raíz cuadrada, etc.) para hacerlos lineales. Pero eso es sólo porque las cosas lineales eran fáciles en la época anterior a los ordenadores. Hoy en día se pueden utilizar programas informáticos para realizar regresiones mucho más complicadas. Ahora es tan fácil ajustar una curva (por ejemplo, una regresión polinómica) como una línea, ya que en ambos casos hay que pulsar un botón en cualquier software estadístico. ¿Por qué limitarse a las curvas? Si sus datos tienen forma de colector, ¿por qué no intentar ajustar un colector a los datos y utilizar ese colector para predecir los valores de la variable dependiente para diversas combinaciones de valores de las variables independientes? El análisis topológico de datos pretende ofrecerle las herramientas necesarias para ello. En un nivel más básico, la homología persistente le permite detectar agujeros en sus datos, con lo que no me refiero a valores perdidos, sino a regiones reales en las que los datos no llegan porque no se generan allí.

Como ejemplo tonto, piense en hacer una foto del lago de Ginebra por la noche. Probablemente verías muchas luces rodeando el lago, pero ninguna dentro de él. Los datos aquí son las luces, y el hecho de que no haya luces procedentes del lago te está diciendo que hay algo que no está ahí. Del mismo modo, se podría imaginar que se toma una foto del cielo y se observan puntos oscuros como forma de encontrar satélites. Los ejemplos que ha producido el grupo de Gunnar son mucho más útiles y menos artificiosos. Creo que varios tienen que ver con datos sobre el cáncer de mama. Si buscas en Google, encontrarás muchas diapositivas de charlas que ha dado, repletas de ejemplos.

Homología persistente funciona considerando todas las posibles coberturas de su conjunto de datos mediante bolas de radio r dibujadas alrededor de los puntos de datos, a medida que r varía. Lo mejor es imaginar datos bidimensionales en los que se ve aproximadamente la forma de un círculo. Cuando r es muy pequeño, la cobertura está totalmente desconectada. Cuando r es muy grande, probablemente estamos viendo un montón de bolas que se cruzan, con demasiados solapamientos como para decir mucho. Pero para algún valor de r en el medio, se obtiene una forma conectada que se parece más o menos a $S^1$ . Las bolas forman un complejo simplicial, y así se hacen los cálculos. Cuando las bolas forman muchos componentes desconectados, $H_0$ tiene una gran dimensión. Una vez que se unen en un componente conectado, $H_0$ es $\mathbb{Z}$ y (en el ejemplo del círculo) $H_1$ también es $\mathbb{Z}$ . Sigue siendo $\mathbb{Z}$ como $r$ se hace cada vez más grande, hasta que r llega a ser tan grande que la unión de las bolas de cobertura forma un disco en lugar de un círculo (hasta la homotopía). La palabra "hasta" en el último párrafo es la razón por la que se llama homología "persistente". Una forma de visualizar cómo cambian los grupos de homología con r es escribirlos como códigos de barras, donde el eje de izquierda a derecha es r y el número de barras es la dimensión. Cuando veas un código de barras largo, eso te está indicando una característica de tus datos que es persistente incluso cuando r varía, por ejemplo, un agujero.

También hay aplicaciones del análisis topológico de datos (TDA) para Aprendizaje automático, agrupación y clasificación . Un ejemplo sencillo es la agrupación baricéntrica, que es algo así como una versión topológica mejorada de la agrupación k-means. El grupo de Gunnar tiene ejemplos más complicados que han sido útiles para identificar asociaciones previamente desconocidas, que luego fueron respaldadas por la teoría. Un problema común es dividir un conjunto de datos en piezas distintas, por ejemplo, mediante máquinas de vectores de apoyo. Básicamente: si su conjunto de datos puede ser separado por un hiperplano, entonces lo hace. Si no es así, se transforma a un espacio de mayor dimensión en el que pueda serlo y entonces se separa allí (de forma equivalente, se encuentra una lámina o superficie de separación). Tengo la esperanza de que los métodos de TDA puedan utilizarse para proporcionar algoritmos de separación mejorados.

Más recientemente, Kathryn Hess se ha involucrado en las aplicaciones de la topología algebraica a neurociencia . Esto está relacionado tanto con el trabajo de Ghrist como con el de Carlsson, pero es diferente de ambos. Ahora se trata de descubrir cómo viaja la información a través de la red de neuronas del cerebro. Trabajando con ratas, puedes estimular el cerebro y medir empíricamente cómo se mueve la electricidad. A continuación, se puede intentar descubrir rasgos de la red basados en qué vías se utilizan con frecuencia, y se puede tratar de averiguar qué determina el camino tomado y qué diferencia hace el camino tomado. Conozco menos el trabajo que hace Hess aquí, pero sé que tiene que ver con el cálculo de los números de Betti y su uso como invariantes. Carlsson también tiene trabajos relacionados con las redes neuronales (creo recordar haber oído que las ratas tienen una botella de Klein en el cerebro, pero no tengo ni idea de por qué), pero creo que tiene un sabor diferente.

En una línea similar, hubo un Sesión especial de la AMS en las Reuniones Conjuntas de Matemáticas de 2012, titulado Teorías de cohomología generalizada en la práctica de la ingeniería . Sólo llegué a una de las charlas de esa sesión (sobre la teoría K como invariante de algún sistema de ingeniería), pero quizás buscando en Google a los ponentes se encuentren más aplicaciones útiles.

Por cierto, también hay topólogos algebraicos que trabajan en teoría de grafos, para utilizar la topología algebraica para hacer nuevos algoritmos gráficos . Ciertamente, la informática $H_1$ es una forma de detectar los ciclos. Por lo que tengo entendido, los algoritmos producidos hasta ahora no hacen mucho que sea nuevo e interesante, y son mucho menos eficientes que los algoritmos existentes. También hay gente que estudia complejos simpliciales aleatorios en la forma en que los gráficos aleatorios han sido bien estudiados. Para un ejemplo, véase este documento en arxiv y siga las referencias. Por último, hay personas que escriben algoritmos eficaces para calcular en conjuntos simpliciales Por ejemplo aquí . Todo esto puede dar sus frutos, a medida que aprendamos a modelar mejor el mundo utilizando complejos simpliciales y conjuntos simpliciales, y a medida que encontremos formas de organizar los datos para que nuestras herramientas puedan ser utilizadas para atacarlos.

Answer 4

Voy a dar la perspectiva de un algebrista. Primero vamos a hablar del álgebra homológica (que tiene sus raíces en la topología). Hay una cita (atribuida, creo, a Connes) que dice que un gran misterio del álgebra homológica es el poder que ofrece la fórmula $d^2=0.$ Esta fórmula es ciertamente misteriosa y el estudio de los complejos de cadenas que se deriva de ella arroja poderosos resultados. Pero una fórmula aún más poderosa, en la que rara vez se piensa de esta manera, es $$a+d = b+c \implies (a,b)\sim (c,d).$$ Esta relación de equivalencia fundamentalmente poderosa sobre pares de números naturales (o reales positivos) da lugar a sistemas numéricos maravillosamente versátiles, que tienen propiedades mucho mejores que los semigrupos originales. Pero los matemáticos no piensan en $\mathbb{Z}$ o $\mathbb{R}$ como relaciones de equivalencia sobre pares: más bien, pensamos en ellos como objetos fundamentales por derecho propio: la relación de equivalencia es simplemente una forma de acceder a ellos. Lo mismo puede decirse de las categorías diferenciales graduadas: todo el formalismo de las resoluciones proyectivas y los cuasiisomorfismos es sólo una forma de acceder a objetos como la gavilla dualizante de Serre que son fundamentales, y para los que el formalismo más rígido de las categorías abelianas es insuficiente. En este sentido, la categoría de complejos es sólo una opción particularmente elegante para "suavizar" la categoría abeliana (éste es un término que escuché por primera vez de Kontsevich): también existen otras. (Véase, por ejemplo, la obra de You Qi álgebra hopfológica .)

El interés moderno por la topología, tal y como yo lo veo, viene del hecho de que resulta que algunos fundamental Los objetos interesantes para todos los matemáticos, incluidos los algebristas (por ejemplo, los espectros de la teoría K, los complejos tangentes en la característica p, ciertas construcciones cíclicas y motivacionales) no son accesibles mediante el álgebra pura, sino que pueden "evaluarse" en espacios topológicos, y luego pueden reconstruirse a partir de estas evaluaciones utilizando técnicas relacionadas con la teoría moderna de la homotopía. Resulta un tanto milagroso que tantas construcciones interesantes para los algebristas tengan buenas formulaciones en términos de algo que los topólogos habían pensado durante mucho tiempo, pero esto es sólo uno de esos milagros que hemos llegado a esperar de cualquier teoría matemática elegante.

Las cuestiones importantes de la teoría de la homotopía desde este punto de vista son del tipo "cuáles son las definiciones correctas, cuándo funcionan y cómo calculamos con ellas". Por ejemplo, supongamos $A$ es algún artilugio algebraico (álgebra, álgebra de Lie, etc.) Considera el grupo de automorfismos de la estructura, $Aut(A)$ . En los casos realmente agradables, se trata de un grupo de Lie, está determinado localmente por su álgebra de Lie (de derivaciones), y es el estabilizador de un punto en una orbifold clasificadora bien comportada. Resulta que si se permite complementar las ideas geométricas con las topológicas, la clase de "casos realmente agradables" se amplía de forma espectacular. Pero hay que entender el significado apropiado de las palabras "grupo de Lie", "local", "álgebra de Lie", etc., y lo que se puede hacer con ellas. Esto se hace con mucha generalidad en el trabajo de Jacob Lurie sobre Espacios de módulos .

Answer 5

Muchas nociones matemáticas (grupos, anillos, álgebras, etc.) forman categorías.

Del mismo modo, una serie de nociones matemáticas (espacios, espectros, esquemas derivados, etc.) forman $(\infty,1)$ -categorías . Su estudio es lo que la topología algebraica moderna.

Para resumir:
La topología algebraica moderna es el estudio de todo lo que forma un $(\infty,1)$ -categoría.