En primer lugar, aquí hay algunas cosas acerca de los cuatro generalizaciones que mencionas:
Monoids no caer en Diers' marco: Por su Proposición 1.4.1 la terminal de objeto en su marco es estricta, es decir, cualquier morfismos $1 \to A$ es un isomorfismo, que definitivamente no es el caso para monoids.
Yo también no esperaría Diers' ejemplos a instancias de Toen/Vaquie del marco en general, Diers' ejemplo 1.3.16, la categoría de parejas (anillo, módulo sobre él), podría ser un contraejemplo. Yo no sé acerca de Durov de la configuración.
Durov la geometría no es de ninguna manera obvia de una instancia de Toen/Vaquie del marco. Si usted quiere a la fuerza en ese marco, esta puede ser una buena idea para ir después de: las Mónadas son monoids en la categoría monoidal de endofunctors. Conmutativa mónadas, sin embargo, no son conmutativos monoids en esa categoría; de hecho, no tiene sentido decir que desde que la categoría no es monoidal simétrica. Así que primero tienes que encontrar un monoidal simétrica ambiente categoría en la que Durov generalizado de los anillos de vivir. Viendo las mónadas como Lawvere algebraicas teorías o como (cosas presentada por) bocetos podría hacer el trabajo - un conmutativa de la teoría es, probablemente, exactamente un boceto con un isomorfismo de su tensor de la plaza. Otra idea podría ser la de considerar una categoría de mónadas donde morfismos son naturales mónada transformaciones junto con distributiva leyes...
Derivado de la geometría algebraica en el otro lado es una instancia de la homotopical versión de Toen/Vaquie del marco, también contenida en ese artículo - ver también más abajo.
Segundo, permítanme señalar que hay muchos más que generalizaciones de la geometría algebraica de los cuatro:
° Anillos con extra estructura puede contar como generalización, si es que se puede dotar a cualquier costumbre anillo con un extra de estructura, por ejemplo,
No Borger de la geometría con lambda-anillos: No cualquier anillo puede ser dotado con el trivial lambda-estructura de anillo - ver su comentario
Berkovich de la geometría analítica: Cualquier anillo puede ser dotado de la métrica trivial
° Se puede reemplazar los anillos por primera estructuras de orden de varias maneras:
Varios autores rusos que hacer esto en cierta manera similar, un reciente referencia es este uno por Daniyarova, Myasnikov, Remeslennikov que tiene muchas referencias a otros trabajos en esta dirección; ver también este uno por B. Plotkin.
Primera estructuras de orden puede ser descrito por medio de bocetos y hay un esquema de la geometría algebraica a lo largo de esta línea en este texto por R. Guitart.
° Hay hyperrings (utilizado para la geometría algebraica por Connes/Consani) y difusa de los anillos (por Walter Wenzel y Andreas Vestido, por ejemplo, este), los cuales son determinados de segundo orden de estructuras.
° Hay dos generalizaciones de los anillos utilizados por Shai Harán a compactify los números enteros, F-anillos y la de su "No-aditivo prolegómenos".
° Hay otra generalización hecha por Shai Harán en su artículo sobre "disléxico geometría", en la que los anillos están dotados de la clasificación general monoids (ver aquí).
Algo similar parece estar sucediendo en James Dolan, la generalización de la geometría algebraica (inédito, pero ver aquí, también hubo una serie de videos de charlas en algún lugar)
° derivado de la geometría algebraica no necesariamente tiene que estar basada en simplicial anillos; dg-álgebras y $E_\infty$-anillo de espectros son igualmente importantes, y hay muchos otros, capturado en
Toen-Vezzosi de la BRUJA-contextos (estos son homotopically aditivo)
Lurie estructurado espacios de DAG 5, que se captura sobre todo basado en la idea de que peguen juntos homotopical estructura algebraica.
° nota que Toen/Vaquie en su relación de la geometría no parar en el conmutativa monoids en algunos monoidal categoría, sino también dar un homotopical versión - esto es algo así como un no-aditivo versión de la BRUJA-contextos y cubre por ejemplo, la geometría sobre el "espectro con un elemento" cuya entrada se simplicial monoids.
° la sustitución de los anillos por groupoid objetos en anillos, junto con una adecuada noción de equivalencia le da pila de la teoría. Por supuesto, usted puede ir a más altos de las pilas.
° por supuesto, existen varios enfoques para no conmutativa la geometría algebraica - ver Mahanta de la encuesta para algunos de ellos, muchos relacionados con el siguiente punto
° Chirvasitu/Johnson-Freyd 2-planes de
° Takagi generalizado de los esquemas de
° Deitmar la congruencia de los planes de
° Lorscheid azul de los esquemas de
° Yo estoy seguro de que se me olvidaron varias cosas...
Tercero, desde que estoy en ello, permítanme señalar que también existen generalizaciones de la geometría algebraica que exactamente no se basan en una noción generalizada de anillo, por ejemplo,
° Hrushovski/Zilber de Zariski Geometrías (ver aquí) la captura de la estructura esencial que se utiliza en las aplicaciones de los modelos de la teoría a la aritmética geometría
° Rosenberg geometría no conmutativa. No tiene que ser no-conmutativa, y también no es aditivo, como Z. Skoda señaló aquí
° en particular: los sistemas de la dirección general de categorías (Kontsevich, Rosenberg, Tabuada)
° De Balmer del triangular de la geometría
...
Para resumir: una cuidadosa asignación de AG-tierra te mantendrá ocupado durante un tiempo. He recogido bastante material para un rudimentario mapa (o tal vez una foto de satélite de baja resolución), acompañados por una selección de algunas más cerca de las instantáneas, pero no voy a empezar a escribir, antes de la segunda mitad del año...
