Clases de residuos pequeños con recíproco pequeño

Question

Deje $p$ ser un gran primer. Para cualquier $m \in \{1,\ldots,p-1\}$, vamos a $\overline{m} \in \{1,\ldots,p-1\}$ ser el recíproco en ${\bf Z}/p{\bf Z}$ (es decir, el elemento único de la $\{1,\ldots,p-1\}$ tal que $m \overline{m} = 1 \hbox{ mod } p$).

Estoy interesado en la búsqueda de $m$ para que para que $m$ e $\overline{m}$ son pequeñas en comparación con $p$, excluyendo el caso trivial $m=1$ del curso. Por ejemplo, el uso de Weil obligado en sumas de Kloosterman y algunos análisis de Fourier, no es difícil mostrar que existe trivial $m$ con $\max(m, \overline{m}) \ll p^{3/4}$. Pero esto no se ve nítida; probabilístico heurística sugieren que uno debe ser capaz de obtener la $\max(m, \overline{m})$ tan pequeño como $O(p^{1/2})$ o así (haciendo caso omiso de registro de los factores), lo que claramente sería la mejor forma posible. Es cierta mejora en la $O(p^{3/4})$ unido conocido? Para mi la aplicación me gustaría llegar a $O(p^{2/3})$. (Yo también estaría dispuesto a hacer algo con un promedio de $p$ si esta mejora de los límites. En realidad estoy más interesado en asymptotics para el número de $m$ con $\max(m,\overline{m})$ delimitada por un determinado umbral, pero la existencia del problema ya se ve que no sea trivial.)

Traté de jugar con Karatsuba límites para incompleta sumas de Kloosterman, pero no estaba claro para mí cómo utilizarlas para obtener el $m$ e $\overline{m}$ en intervalos más pequeños que $p^{3/4}$.

Answer 1

El siguiente argumento prueba que para casi todos los $p\le x$ hay $m,n\le p^{1/2+\epsilon}$ con $mn\equiv1 \pmod p$.

De hecho, vamos a $$ P=\{x/2<p\le x: m\le x^{1/2+\epsilon}\ \implica\ \overline{m}\pmod p>x^{1/2+\epsilon}\}. $$ Deje $q$ ser una de las primeras en $(x^{1/2-\epsilon/2},x^{1/2-\epsilon/3}]$. Si $1+kp\equiv 0\pmod q$ para algunos $k\le x^{\epsilon/2}/2$,, a continuación, $1+kp=qd$ para algunos $d\le (1+kx)/x^{1/2-\epsilon/2}\le x^{1/2+\epsilon}$. En particular, $p$ no está en $P$. Por lo tanto, si $p$ es contada por $P$, entonces para cada $q\in (x^{1/2-\epsilon/2},x^{1/2-\epsilon/3}]$, se debe evitar la congruencia de las clases de $\{-\overline{k}\pmod q: 1\le k\le x^{\epsilon/2}/2\}$. Desde $p$ es primo es primo, también debe evitar las clases de $0\pmod q$ para todos los números primos $q\le \sqrt{x}$. A continuación, aplicamos la aritmética forma de la Gran Cedazo (ver, por ejemplo, en la página 159 en Davenport) a la conclusión de que $$ \#P \ll \frac{\pi(x)}{x^{\epsilon/2}} , $$ lo que demuestra la demanda.

El resultado anterior es esencialmente agudo: el número de $p\in(x/2,x]$ para los que no se $m,n\le p^{1/2}(\log p)^c$ con $mn\equiv 1\pmod p$ es $o(\pi(x))$ para las pequeñas suficiente $c$. De hecho, tendríamos que hay algunos $k\le (\log x)^{2c}$ tal que $1+kp$ puede ser escrito como $1+kp=mn$ con $m\le n\le x^{1/2}(\log x)^c$. En particular, $1+kp$ tendría un divisor $m\in[0.1k\sqrt{x}/(\log x)^c, \sqrt{1+kx}]$. El número de números primos $p\in(x/2,x]$ es $$ \asymp f(k) \frac{x}{\log x} \frac{1+\left(\log\frac{(\log x)^{2c}}{k}\right)^\delta}{(\log x)^\delta(\log\log x)^{3/2}}, $$ donde $\delta=1-(1+\log\log2)/\log 2$ es la constante que aparece en Erdos de la tabla de multiplicación del problema y $f(k)$ es algo de domar multiplicativo de la función que generalmente es $\asymp1$ (ver http://arxiv.org/abs/math/0401223 y http://arxiv.org/abs/0905.0163. Este resultado no se indica ahí, pero que deben seguir a partir de los métodos. El límite superior se utiliza la criba. Para el límite inferior, en lugar de la Bombieri-Friedlander-Iwaniec resultado en números primos en APs a grandes módulos, habría que utilizar Zhang del resultado, porque necesitamos información acerca de la distribución de los números primos en progresiones $a\pmod q$ con $1+ak\equiv0\pmod q$, lo $a$ no es fijo.) Suma más de $k\le(\log x)^{2c}$, nos encontramos con que el número de $p\in(x/2,x]$ para los que no se $m,n\le p^{1/2}(\log p)^c$ con $mn\equiv 1\pmod p$ es $$ \ll \frac{x}{\log x} \frac{(\log x)^{2c}}{(\log x)^\delta(\log\log x)^{3/2}} . $$ Tomando $c=\delta/2$ se obtiene el resultado reivindicado.

La anterior línea de pensamiento debe ser capaz de producir, al menos de forma heurística, el valor óptimo de $c$ en los siguientes dos proposiciones:se $$ \#\{p\le x: \existe m,n\le p^{1/2}(\log p)^{c+\epsilon}\ \text{con}\ mn\equiv 1\pmod p\} \sim \pi(x) $$ y $$ \#\{p\le x: \existe m,n\le p^{1/2}(\log p)^{c-\epsilon}\ \text{con}\ mn\equiv 1\pmod p\} =o(\pi(x)). $$ El punto es que si $k\neq k'$, entonces la multiplicación de las estructuras de $1+kp$ e de $1+k'p$ deben ser independientes unos de otros. Por lo tanto, los eventos que $1+kp=mn$ para algunos $m,n$ en un rango y que $1+k'p=m'n'$ para algunos $m',n'$ en un rango debe ser independiente. Así que un Borel-Cantelli argumento sería entonces el rendimiento óptimo valor de $c$.

Answer 2

El Profesor Tao,

No sé si esta respuesta es en el menos útil, pero que post de todos modos!

No estoy seguro, pero tal vez uno de los enfoques a través de Linnik del teorema de que al menos el primer, digamos, $p(r,q)$ en una progresión aritmética $r \bmod q$ es $\ll q^L$.

(De hecho vi que el tema de las Matemáticas Desbordamiento recientemente: menos privilegiada en una progresión aritmética )

Si $p \equiv -b \bmod a$ e $p \equiv -1 \bmod b$, con $(a,b)=1$ e $b$ de que el tamaño del $a^2$, entonces uno puede tomar

$$ m = \frac{p+b}{a} $$

y

$$ \overline{m} = \frac{a(p+1)}{b}. $$

Pero, a continuación, $p$ está en una progresión aritmética de módulo de un tamaño de unos $a^3$, por lo que

$$ \max(m,\overline{m}) \ll p^{1-1/(3L)}. $$

Sin embargo, en la actualidad el estado del conocimiento de la $L$ no es suficiente.

EDITAR:

En realidad, uno puede tomar la $a,b$ aproximadamente del mismo tamaño, $(a,b)=1$, $p\equiv -b \bmod a$ y $p \equiv -a \bmod b$, y

$$ m = \frac{p+b}{a} $$

y

$$ \overline{m} = \frac{p+a}{b}. $$

A continuación, $p$ está en una progresión aritmética de módulo de un tamaño de unos $a^2$, y

$$ \max(m,\overline{m}) \ll p^{1-1/(2L)}. $$