No sé la historia (en particular, qué papel principal de la descomposición sostuvo que es "obsoleta"), pero conozco un par de lugares donde primario de descomposición aparece en varias otras formas.
Me doy cuenta de que esto no es exactamente una respuesta a la pregunta, pero tal vez pueda iluminar algunas de las relaciones entre la descomposición y la localización, y las maneras en que la descomposición todavía aparece más que simplemente encontrar los asociados de los números primos...
Simbólico poderes
La primera es cuando se toma el poder simbólico de un alojamiento ideal (o en general cualquier potencia). Supongamos que $Q \subseteq R$ es un alojamiento ideal. Si ayuda, suponga $R$ es regular (o liso sobre un campo). Ahora considere el $Q^n$ por varios enteros $n$. Puede venir como una sorpresa que $Q^n$ no $Q$-primaria (al menos si no has pensado en esto antes). En particular, uno puede tomar una descomposición primaria de $Q^n = P_1 \cap \dots \cap P_s$. Exactamente uno de esos ideales es $Q$-primaria, y que se llama el $n$th poder simbólico de $Q$, y se denota por $Q^{(n)}$ en álgebra conmutativa
Déjame al menos dar alguna indicación de un vínculo entre los poderes simbólicos y localización. Considere la posibilidad de extender $Q^n R_Q$ de % de $Q^n$ a la localización de la $R_Q$, esto es $QR_Q$ primaria (debido a $QR_Q$ es máxima). Ahora, tire de la vuelta a $R$. Usted obtener
$$Q^{(n)} = (Q^n R_Q) \cap R.$$ In other words, the $n$th symbolic power of $P$ is the largest ($P$-primary) ideal that agrees with $P^n$ GENÉRICAMENTE.
Comentario: me pregunto si este tipo de cosas que Atiyah-Macdonald se refiere. A partir de la perspectiva geométrica, la principal información que uno quiere es a menudo el poder simbólico (te voy a dar algunos indicios de esta debajo de donde poder simbólico es reformulado en otros idiomas), y ahora podemos pensar en este puramente a través de la localización, y así olvidarse de la primaria de la descomposición de la perspectiva por completo.
Por último, si son finitos tipo más que decir $\mathbb{C}$ e $R$ es regular, entonces simbólico poderes tienen una descripción natural. $Q^{(n)}$ es el conjunto de elementos de $R$ que se desvanecen a fin de $n$ en cada punto cerrado de $V(Q)$. En el caso general, la descripción es la misma, simplemente no se puede restringir a cerrado puntos. Creo Eisenbud el libro tiene una presentación agradable de parte de esta.
Hay un montón de preguntas natural que uno puede pedir, pero probablemente la más natural es:
Pregunta: ¿Cuándo simbólico de los poderes de la igualdad de ordinario ideal poderes?
Esta es una pregunta difícil, que muchos conmutativa algebraists han estudiado ampliamente (en mi opinión, es una de las áreas más activas de investigación en álgebra conmutativa). El gran caso donde se sabe que ser igual es por los ideales definidos por regular las secuencias, es decir, completar las intersecciones. Generalmente hablando, simbólico y competencias ordinarias están lejos de ser iguales. De hecho, el conjunto de los asociados de los números primos que vienen también puede ser visto como una medida de la complejidad de la ideal, pero ahora yo estoy en la material de que sé menos bien.
Clasificados simbólico poderes
Este es un corto de lado, pero es probablemente vale la pena mencionar. Una cuestión clásica en la geometría algebraica es la siguiente (véase, por ejemplo, algunos de los trabajos de Chudnovsky, Esnault-Viehweg, y Harbourne).
Pregunta: $\text{ }$ Dado un conjunto de puntos de $S$ en $\mathbb{P}^m$ y un entero $k > 0$, ¿cuál es el menor grado de $N$ de una hipersuperficie que pasa a través de cada punto en $S$ con multiplicidad $k$?
El conjunto $S$ tiene asociado un ideal homogéneo $J$ en $k[x_0, \dots, x_m]$. $J = Q_1 \cap \dots \cap Q_t$ (donde $t$ es el número de puntos en $S$). Considere la posibilidad de $J^{(k)} = Q_1^k \cap \dots \cap Q_t^k$ (una variante del poder simbólico, tenga en cuenta que el $Q_i$ se completa intersecciones, tan normal y simbólico de los poderes de la $Q_i$ coinciden). Sucede a menudo que $J^{(k)} \neq J^k$ (en general $J^{(k)}$ es una parte de la $J^k$'s principal de descomposición).
En este caso, la respuesta a la pregunta anterior es $N =$ `el menor grado de un elemento no nulo de $J^{(k)}$."
Weil divisorial poleas
Esto puede ser visto como un caso especial de poder simbólico, pero tiene un poco de sabor diferente / conjunto de aplicaciones. Supongamos que $X$ es una parte normal de la variedad y de la $D$ es un eficaz divisor de Weil en $X$. Considere la posibilidad de $O_X(-nD)$ por varios enteros $n$. Es $X$ es suave, o más generalmente, $D$ es de Cartier, entonces el álgebra:
$$\bigoplus_{n \geq 0} O_X(-nD)$$
es finitely generado. Pero en general, no es finitely generado! Sin embargo, cuando se finitely generado muchas cosas maravillosas suceden (por ejemplo, esto puede ser útil cuando la prueba de la existencia de volteretas en el modelo de un mínimo de programa, tomar sheafy Proj). Curiosamente, en las variedades con Kawamata registro de la terminal de singularidades, todos esos anillos son finitely generado (Stefano Urbinati recientemente señaló a mí).
¿Qué tiene que ver esto con el principal de la descomposición, se preguntará usted? Bueno, esto es básicamente una variante de lo simbólico poderes. Supongamos que $X = \text{Spec} R$ e $D = \sum a_i D_i$ para el primer divisores $D_i$. Decir que $D_i$ está definido por el primer divisor $P_i \subseteq R$. Entonces
$$O_X(-nD) = \bigcap P_i^{(a_i n)}.$$
(ok, es una gavilla, el otro es un ideal, pero usted consigue el punto)
Si usted no ha hecho esto antes, usted puede probar el siguiente ejercicio. Considerar el ideal de $Q = (x,y) \subseteq k[x,y,z]/(x^2 - y z)$. Este ideal se define un divisor (es un fallo del cono). Muestran que los anillos de $\bigoplus_{n \geq 0} Q^{(n)}$ e $\bigoplus_{n \geq 0} Q^n$ son tanto finitely generado anillos, pero son diferentes de los anillos...
Asocia los números primos como una medida de la complejidad de los módulos
Considere la posibilidad de un local cohomology módulo, $H^i_J(R)$ (aquí se $J \subseteq R$ es un ideal). Dichos módulos son útiles para el cómputo de los gavilla cohomology de abrir conjuntos de variedades, ya que es básicamente la versión algebraica de cohomology con apoyo. Estos también se muestran (a menudo como principales ejemplos) en el estudio de $D$-módulos.
Si el módulo tiene sólo un número finito de asociados de los números primos, entonces ciertamente es discutible que es una forma mucho más simple módulo, ya que hay sólo un número finito de bloques de construcción. Fue una larga pregunta por Huneke (creo) si todos los locales de cohomology módulo tiene sólo un número finito de primos asociados. Esto fue demostrado por Huneke y Afilado para regular los anillos (para cualquier ideal).
Sin embargo, Anurag Singh dio un couterexample hace un par de años, que demostró que no podría ser infinitamente muchos asociados de los números primos (Moty Katzman, a continuación, dio un equi-ejemplo característico de un poco más adelante). La gente todavía están estudiando cuando sucede que los locales cohomology módulos tienen sólo un número finito de primos asociados.
Registro de centros canónica
David Speyer pidió algunos ejemplos de aplicaciones de la no-mínimo de términos de una primaria de la descomposición en la aplicación. He aquí un ejemplo que conozco, o al menos un ejemplo, cuando no asociada mínima de los números primos vienen (como Dustin señala anteriormente, la falta de un mínimo de componentes principales de una descomposición realmente no son los únicos).
Supongamos que $\pi : Y \to X$ es una resolución de singularidades de algunas normales algebraicas variedad de más de $\mathbb{C}$. Resulta que $X$ ha racional singularidades si $R^i O_Y = 0$ para todos los $i > 0$. Recientemente Valery Alexeev -- Christopher Hacon y Sándor Kovács definió la noción de un irracional centro a cualquier asociados primer de estos módulos de $R^i O_Y$. En particular, estos centros medida de un fracaso de una variedad a tener racional singularidades.
Ambos conjuntos de autores estaban interesados en estos primos porque su existencia o no existencia implica varias cosas acerca de la profundidad de $O_X$ e $\omega_X$ (la motivación viene de los módulos de la teoría de las dimensiones superiores de las variedades). Curiosamente, estos irracional de los centros los centros también son siempre de registro canónica de los centros.
Registro canónica de los centros especiales de subvariedades que han sido muy utilizadas en las dimensiones superiores de geometría algebraica en los últimos 15 años (se discuten algunos en las últimas secciones de Rob Lazarsfeld del libro). En particular, hay algunos bonitos extensión de teoremas para el global de las secciones de registro canónica de los centros a su ambiente espacios (véase, por ejemplo, Kawamata los papeles en subadjunction). También son excelentes herramientas para la realización de la inducción en la dimensión. Muchas de las preguntas sobre el ambiente de la variedad puede ser reducido a las preguntas en un registro canónica centro.
