¿Existen conceptos matemáticos que existen en la cuarta dimensión, pero no en la tercera dimensión? Por supuesto, los conceptos matemáticos incluyen conceptos geométricos, pero no quiero decir exclusivamente el concepto geométrico. No soy matemático y soy más un laico, por lo que agradecería que supiera cuáles son los conceptos en su respuesta para que un laico pueda entender.
Respuestas
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rschwieb
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El uno que sobresale para mí el más es que hay cinco regular polytopes (llamados sólidos Platónicos) en $3$ dimensiones, y todos ellos tienen análogos en $4$ dimensiones, pero hay otro regular polytope en $4$ dimensiones: el 24 de células.
El trampolín es que en las dimensiones superiores $4$... sólo hay tres regulares polytopes!
Otra cosa que puede suceder en $4$ dimensiones en el espacio, pero no $3$ es que usted puede tener dos planos, que sólo se cortan en el origen (y en ningún otro lugar.) En $3$ dimensiones que había al menos una línea en la intersección.
No sé si esto también cuenta, pero las transformaciones lineales en $3$-dimensiones de la escala siempre en una dirección (es decir, tienen un verdadero vector propio). Esto significa que en todos los casos, una línea en una dirección, debe permanecer en el lugar o ser revertido a mentir sobre sí mismo. En $4$ dimensiones, es posible tener transformaciones (incluso nonsingular) que no tiene vectores propios, por lo que todas las líneas se han desplazado.
También no estoy seguro si esta cuenta, pero no hay $3$ dimensiones asociative álgebras de más de $\mathbb R$ que permiten la división (se llaman álgebras de división), pero no hay una única $4$ dimensiones. (Buscar el teorema de Frobenius
Shery
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16
La cuarta dimensión es, en algunos aspectos, muy peculiar.
El $3$-dimensional espacio Euclidiano tiene una única estructura diferenciable. De hecho, el mismo es cierto en cualquier dimensión no es igual a $4$. Por el contrario, la $4$espacio tridimensional tiene un continuo de incompatible estructuras diferenciables. Intuitivamente, esto significa que algo que se parece a la familiarizado $4$espacio tridimensional se puede tener una gran variedad de lugar impar geometrías.
En la mayoría de los $3$-dimensiones de la esfera admite una única estructura diferenciable (no hay exóticos esferas).
No se sabe si hay exóticos $4$-dimensiones en las esferas, o si hay un número finito de ellos (en contraste, en cualquier otra dimensión, hay sólo un número finito de estructuras diferenciables en la esfera --- por ejemplo, $28$ en $7$ dimensiones).
lucvoo
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JeanMarie
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196
El hecho de que $\mathbb{R}^4$ puede ser dado en una multiplicación, de modo que con vector, además, tiene una estructura de (no conmutativa) de campo, es decir, cuaterniones. Vea nota 1 más abajo.
Mientras que uno puede demostrar que es imposible para $\mathbb{R}^3$ a tener un vector de la multiplicación de tal manera que, con la costumbre de suma de vectores, $\mathbb{R}^3$ es un campo.
Acabo de ver ahora que al final de su respuesta @rschwieb ha mencionado "álgebras de división", que en realidad es equivalente a (no conmutativa) o "inclinación") campo (gracias a Tomasz por haber hecho este comentario).
Observación 1 : Para los cuaterniones, véase mi respuesta a ¿cuál es la relación entre los cuaterniones y los números imaginarios?
Observación 2 : Pensar, por ejemplo, a un fallido candidato, cruz del producto, que es
no asociativa : en general $(\vec{u} \times \vec{v}) \times \vec{w} \neq \vec{u} \times (\vec{v} \times \vec{w}).$
no posee un elemento neutro : no hay vector $\vec{u_0}$ existe tal que para todos los $\vec{v}, \vec{v} \times \vec{u_0}=\vec{v}.$
Yly
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649
A riesgo de sonar frívolo, yo voy a proponer que el universo como un ejemplo. Es curioso, pero bien verificada experimentalmente hecho, de que el universo tiene cuatro dimensiones (tres espaciales y una de tiempo). En la medida en que el universo es descrito por las leyes matemáticas, es un ejemplo de algo que existe en cuatro, pero no en tres dimensiones.
Usted puede preguntar: ¿Qué es la matemática de la explicación de este peculiar hecho? Muchos físicos se han preguntado la misma pregunta. Algunas respuestas han sido propuestos, ninguno de los cuales se considera todavía la última palabra:
- La mayoría de los científicos. "modesto" la propuesta es que tiene que ver con la "ejecución de las constantes de acoplamiento bajo renormalization". En términos sencillos, la idea aquí es que en otras dimensiones de cuatro, los ámbitos fundamentales que componen el universo están fuertemente acoplados, por lo que se hace imposible para los objetos simples como los átomos de existir. Sin átomos, no hay vida, y por lo tanto, tal universo no puede haber gente a la pregunta "¿por qué el universo tiene esta muchas dimensiones?" (Esto se llama un "argumento antrópico", y tiene una serie de críticas, algunas mencionadas en el artículo enlazado.)
- Otros antrópico argumentos provienen de la teoría general de la relatividad, lo que sugiere que el universo puede ser inestable o inhóspito para la vida en diversas formas, si hubiera mayor o menor dimensión.
- La teoría de cuerdas predice que el universo es parte de una mayor multiverso que tiene (dependiendo del sabor de la teoría de cuerdas) algo como, diez, once, o veinte-seis dimensiones. La mayoría de estas dimensiones obtener acurrucado por lo que se han vuelto muy pequeño (esto se llama "compactification"). Algunos físicos han ido buscando extra dimensiones espaciales, pero todas esas búsquedas se han convertido en vacío hasta el momento.
- Algunas personas especulan que la razón por la que el universo es 4D tiene que ver con la peculiar propiedades topológicas de cuatro dimensiones del espacio. Que yo sepa, nadie tiene una propuesta concreta de cómo debía funcionar--sólo la estética de la observación de que las cuatro dimensiones parece ser especial en muchos aspectos (por ejemplo, esferas exóticas y exóticas $\mathbb{R}^4$, no es que estos en sí mismos explican nada).
Por supuesto, nadie está totalmente descartada la posibilidad de que existan otros universos con diferentes números de dimensiones, pero dado que las cuatro dimensiones parece muy estable en nuestra experiencia, es interesante preguntarse si esto es matemáticamente necesario.
