Mapa abierto D S²

Question

¿Es posible construir una incrustación $D^4\hookrightarrow S^2\times \mathbb R^2$ tal que la proyección $D^4\to S^2$ ¿es un mapa abierto?

Aquí $D^n$ denota que está cerrado $n$ - de la pelota.

Un mapa abierto D S². Es fácil construir una incrustación $D^3\hookrightarrow S^3$ tal que su composición con la fibra de Hopf $f_3:D^3\to S^2$ está abierto.

Componiendo $f_3$ con cualquier mapa abierto $D^4\to D^3$ , se obtiene un mapa abierto $f_4:D^4\to S^2$ .

El mapa $f_3$ no es una proyección de incrustación $D^3\hookrightarrow S^2\times\mathbb R$ . (Tenemos $f_3^{-1}(p)=S^1$ para algunos $p\in S^2$ y $S^1$ no se puede incrustar en $\mathbb R$ .)

Todavía no entiendo si se puede presentar $f_4$ como una proyección de una incrustación $D^4\hookrightarrow S^2\times\mathbb R^2$ .

Answer 1

Esto es demasiado largo para un comentario pero quizás me ayude a aclarar lo que buscas. Interpretar $D^4$ como la bola compacta unitaria en $\mathbb C^2$ .

$$ D^4 = \{ (z_1,z_2) \in \mathbb C^2 : |z_1|^2+|z_2|^2 \leq 1 \} $$

Existe una función $f : D^4 \setminus \{(0,0)\} \to S^2$ dado por $f(z_1,z_2) = z_2/z_1$ donde estamos pensando en $S^2$ como la esfera de Riemann. $f$ es un mapa abierto. Pero $f$ también es un compuesto:

$$ D^4 \setminus \{(0,0)\} \to S^2 \times \mathbb C \to S^2 $$

el 1er mapa $D^4 \setminus \{(0,0) \} \to S^2$ ser $(z_1,z_2) \longmapsto (z_2/z_1, z_2)$ y el segundo mapa es $(z_1,z_2) \longmapsto z_1$ .

El primer mapa es una incrustación y el segundo es una proyección. Mi post original tenía el dominio como $D^4$ pero eso no tiene sentido. Vale, quizás estoy empezando a entender la pregunta que me haces. Este mapa de arriba tiene la propiedad de que la restricción $S^3 \to S^2$ es la fibración de Hopf, que como mapa $S^3 \to S^2$ no es nulo-homotópico. Así que es imposible extender la construcción anterior a un mapa $D^4 \to S^2 \times \mathbb C$ . Si no abandonas el mundo de las inmersiones esto significa que tu mapa $S^3 \to S^2$ tiene que ser una inmersión nula-homotópica, pero tales cosas no existen -- una inmersión tendría que ser un haz de círculos sobre $S^2$ y esas son sólo fibrados de Hopf.

Así que si hay una respuesta positiva a su pregunta, el mapa $S^3 \to S^2$ tiene que tener algunas degeneraciones.