El título lo dice todo, pero si bien es un poco provocativo, permítame explicar un poco acerca de mi pregunta. Primer tiempo cuando conocí a la foliación de la era sólo un ejemplo aislado en el curso de geometría diferencial (yo era el Reeb foliación) y me didin no pagar muchas de atención. En el mientras tanto, yo interesarse en los no conmutativa la teoría, en particular, en $C^*$-álgebras. Al leer acerca de la Geometría no conmutativa me llegó a través de las foliaciones como uno de los principales motivadores de los ejemplos de la teoría. Me enteré de que en general el espacio de las hojas de la foliación está mal que se comportó como un espacio topológico y creo que es más worthwile para lidiar con estos espacios mediante métodos algebraicos. Pero no tengo algo así como una imagen mental de lo que foliaciones es y por qué debería siquiera se preocupan acerca de esos objetos?
Respuestas
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Sin ninguna falta de respeto, permítanme decir que me parece increíble que alguien, naturalmente, se preocupa por la geometría no conmutativa, sino que necesita de convencer acerca de la geometría real (esto es sólo para resaltar que hay una amplia variedad de formas de pensamiento en matemáticas). Sería necesario convencer al revés (por ejemplo, ¿Cómo C* álgebra de operadores relevantes en la foliación de la teoría desde el punto de vista geométrico?).
Desde el punto de vista de alguien interesado en la geometría, las foliaciones aparecen de forma natural en muchas maneras.
La forma más básica es cuando se consideran los conjuntos de nivel de una función. Si la función es una inmersión de obtener un no-singular foliación, pero esto es raro. Sin embargo, cada colector admite una función de Morse y la teoría de funciones de Morse (que puede ser utilizado por ejemplo para clasificar las superficies, y para demostrar la alta dimensión caso de la generalización de la conjetura de Poincaré) puede ser visto como un especial (o tal vez el más importante) en el caso de la teoría de foliaciones singulares (donde las singularidades son bastante simples).
Otro tipo natural de la foliación es la partición de un colector en las órbitas del flujo determinado por un campo de vectores. Otra vez el caso más simple, en el que el vector de campo no tiene ceros, es raro, pero los rendimientos no singular foliación (con una dimensión de las hojas). Sin embargo, ya en este caso se puede ver que las hojas de una foliación puede ser recurrente (es decir, se acumulan sobre sí mismas) en los no-trivial formas (el ejemplo típico es la partición de la plana torus $\mathbb{R}^2/\mathbb{Z}^2$ en las líneas de un determinado irracional de la pendiente).
Un hecho destacable la generalización del caso anterior (el resultado es, en los papeles de Sussmann y Stefan de la década de los 70') es el siguiente: Considere el $n$ campos vectoriales en un colector. Para cada punto de $x$, considerar el conjunto de puntos que puede llegar a usar arbitrariamente finito composiciones de los flujos de estos campos vectoriales. La partición de la diversidad en estos "accesibilidad " clases" es un singular foliación (en particular de cada clase accessibility es una submanifold).
Por lo tanto foliaciones aparecen de forma natural en varios tipos de "problemas de control", donde uno tiene varias direcciones válidas de movimiento y quiere entender lo que los estados son alcanzables a partir de un estado dado. Este punto de vista también da una buena visión de Hörmander del teorema sobre el por qué de ciertos operadores diferenciales han suave núcleos (hay un buen artículo de Hairer explicando Malliavin la prueba de este teorema). Esencialmente el Hormander soporte condición significa que el movimiento Browniano puede ir a cualquier lugar que desee (es decir, un cierto foliación asociados para el operador es trivial).
Otra manera de obtener la motivación es mirar la historia (recuerdo que la lectura de un buen encuesta que creo que fue escrito por Haefliger). En mi (poco fiables), la primera geométrica de los resultados (así que me estoy saltando del teorema de Frobenius) en la foliación de la teoría de la Poincaré-Benedixon y de Poincaré-Hopf teoremas ambos de los cuales pueden ser usados para mostrar que cada uno-dimensional de la foliación de las dos dimensiones de la esfera tiene singularidades.
De Hopf, a continuación, se le preguntó en la década de 1930, si existe una foliación de la esfera tridimensional utilizando sólo las superficies. La primera observación, debido a Reeb y Ehresman es que si una de las superficies es una esfera, entonces usted no puede completar la foliación sin singularidades. También se construyó el famoso Reeb foliación y respondió a la pregunta en forma afirmativa.
Desde entonces, ha habido toda una línea de investigación dedicada a la cuestión de que los colectores de admitir que no singular foliaciones. En este sentido, el principal es el Teorema debido a Thurston que (en palabras de un experto en la teoría), se acercó y "foliada todo lo que podría ser foliada".
Pero hay otras líneas de investigación. Por ejemplo, sé que hay un cierto subconjunto de la geometría algebraica dedicado a tratar de entender las foliaciones de complejo proyectiva del espacio que se determinan por el nivel de los conjuntos de funciones racionales de un cierto grado.
También, cuando se tiene una acción de grupo fundamental de un colector no es natural "suspensión" de la foliación adjunto (suspensiones son considerados el "modelo local" por un general de la foliación y son por lo tanto muy importante en la teoría). Este punto de vista, a veces, ha dado resultados en el área de investigación conocida como alto de la teoría de Teichmüller (donde, básicamente, que el estudio de las acciones lineales de el grupo fundamental de una superficie).
Y, claro, cuando uno tiene un Anosov, o hiperbólico, diffeomorphism o de flujo (por ejemplo, de la línea geodésica de flujo de una superficie hiperbólica), no son estables e inestables foliaciones que jugar un papel, por ejemplo, en el famoso Hopf (no es el mismo de Hopf como antes) argumento para establecer ergodicity.
Ah, y ni siquiera he mencionado el lugar especial que foliaciones de ocupar en la teoría de las 3 dimensiones de los colectores. Aquí hay muchos resultados que no puedo decir mucho acerca de (pero he oído que el libro por Calegari es muy agradable). Tal vez uno básico es Novikov del teorema que básicamente demuestra que la existencia de Reeb componentes es forzado por las foliaciones en muchas de las 3-variedades.
Y (no pude resistir la adición de un último ejemplo), también hay foliaciones por Brouwer líneas, que han sido recientemente usado (por LeCalvez y otros) para demostrar resultados interesantes acerca de la dinámica de la superficie de homeomorphisms.
TLDR: Foliaciones se producen de forma natural en muchos de los contextos en geometría y sistemas dinámicos. No puede ser un muy unificada "de la Teoría de foliaciones", pero varios de los tipos especiales han sido estudiados en profundidad por diferentes razones y han dado una idea o participar en la prueba de importantes resultados, como la conjetura de Poincaré y de Hörmander del soporte del teorema. Por esta razón, los matemáticos han tomado nota y destaca las foliaciones como un objeto básico en la geometría (incluso ha habido esfuerzos significativos en la producción de un par de buenas tratados tratando de dar el grand tour, por ejemplo los libros de Candel y Conlon).
Probablemente hay muchas razones por qué la gente se preocupa por las foliaciones, pero para alguien que viene de álgebras de operadores una de las principales razones es la conexión a von Neumann álgebra teoría. En breve, cada foliación de un buen colector tiene asociado un álgebra de von Neumann y muy interesante las propiedades del álgebra de von Neumann se reflejan en las propiedades geométricas de la foliación. El álgebra de von Neumann es un factor determinante si y sólo si la foliación es ergodic, por ejemplo. Usted puede obtener ejemplos de factores de todo tipo por parte de esta construcción y el aspecto geométrico de las foliaciones es especialmente útil en la comprensión de la tipo III caso. El sistema modular de automorphism grupo tiene una clara interpretación geométrica, y así sucesivamente. Una buena referencia es "álgebras de operadores y el índice teorema sobre la foliada colectores" por H. Moriyoshi.
Aquí es otra de las razones acerca de por qué la gente se preocupa por las foliaciones: Si usted se preocupa acerca de los sistemas dinámicos, usted debe preocuparse acerca de foliaciones.
Por ejemplo, si usted tiene un lugar singular campo de vectores en un circuito cerrado en el colector, se define un 1-dimensional de la foliación, las hojas son las órbitas de los flujos asociados a los vectores de campo. Estudio 1-dimensional foliaciones es (casi, modulo de orientación de problemas) de la misma como el estudio de nonsingular campos vectoriales. La única cosa es que cuando se piensa en términos de foliaciones, te olvidas de la parametrización de las órbitas.
Si usted tiene un local de la acción libre de un conectada Mentira grupo en un circuito cerrado en el colector, de nuevo tiene asociada una foliación por las órbitas. Aquí localmente libre significa que el estabilizador de cualquier punto en el colector es un subgrupo discreto de la Mentira de grupo. La dimensión de las hojas será la dimensión de la Mentira de grupo, se generaliza el ejemplo 1. Ya hay cosas interesantes que están pasando por acciones de la Mentira de grupo $R^2$ (es decir, pares de desplazamientos de los campos vectoriales).
Incluso si usted está interesado sólo en los flujos o diffeomorphisms, hay veces que los naturales de las foliaciones asociados a ellos. Por ejemplo, estable/inestable foliaciones de un "Anosov flow" o diffeomorphism.
Como para la imagen mental de lo que una foliación es, probablemente hay un montón de fotos en línea. Usted debe pensar en una partición del colector de que a nivel local es agradable (como un "milhojas", o como un producto de $R^{k}\times R^{n-k}$) a nivel mundial, pero complicado (hojas podrían ser densa o su cierre podría ser transversalmente un conjunto de Cantor, etc.).
