¿Cuáles son algunos problemas importantes pero aún sin resolver en la lógica matemática?

Question

En el pasado, la lógica de primer orden y su integridad, y si la aritmética es completa fue una de las principales cuestiones sin resolver en la lógica . Todos estos problemas fueron resueltos por Gödel. Más tarde, la independencia de las principales polémicas axiomas fueron establecidos por forzar el método.

Me pregunto si todavía existen algunos "natural" preguntas en la lógica matemática que aún están sin resolver? O es el caso que la mayoría de las preguntas ya han sido contestadas?

Me encantaría saber acerca de algunos de los más importantes, pero todavía problemas no resueltos que de rompecabezas lógicos, y ¿por qué los jóvenes lgica\matemático atención de aquellos? (que es, de Suero de leche son importantes?)

Yo no soy un experto en la lógica (ni en ningún otro matemático campo, estoy de pregrado) pero estoy interesado en la lógica de lo que me gustaría saber acerca de los problemas actuales que los lógicos cara y cuáles son las tendencias de la investigación en la disciplina hoy en día y qué tipo de problemas que las personas están tratando de resolver.

Sé que la lógica es un amplio término que incluye muchas de las sub-disciplinas: modelo de la teoría, la prueba de la teoría, la teoría de conjuntos, la teoría de la recursividad, de orden superior, la lógica no-clásica de la lógica, de la lógica modal, lógica algebraica y muchos otros. Así que siéntase libre de decirnos acerca de los problemas de forma cualquiera sea el tema que a usted le gustaría.

Answer 1

La moderna lógica (y fundamental de las matemáticas en general) del siglo 20 nos dio muchas cosas importantes: Russell tipo de teoría, Zermelo-Fraenkel de la teoría de conjuntos, meta-teoremas acerca de la lógica de primer orden, incluyendo integridad y incompletness fenómenos, modelo de la teoría, y la teoría de la computabilidad. La lógica se expandió en y alrededor de las matemáticas.

En el verano de 2014 en la Viena de Verano de la Lógica de un mil lógicos, si no más, que asistió una gran cantidad de eventos que se divide en dos partes:

1. La Lógica matemática alojado 4 conferencias, 2 talleres, y uno de la competencia.

2. La lógica en Ciencias de la computación presentado 8 conferencias, $\aleph_0$ talleres, Equipo de la Lógica de los Juegos Olímpicos, y una escuela de verano.

Es seguro decir que el equipo de la ciencia de la lógica se ha vuelto más grande que la de su hermana mayor.

Si usted está buscando nuevos e interesantes desarrollos y desafíos en la lógica, de desviar la atención de la informática. Pero los desafíos no son rara vez duro matemática nueces estén agrietados. En su lugar, se trata de desarrollo de nuevo y extraño tipo de lógica, acerca de los algoritmos y procedimientos de toma de decisiones que respondan a las necesidades de ciencias de la computación, sobre el diseño de sistemas formales que es adecuado para el equipo de aplicación, y así sucesivamente.

La lógica de principios del siglo 20 fue una reacción a una conceptual y metodológico de la crisis en las matemáticas. La lógica de principios del siglo 21 es la herramienta para la conquista de la tierra recién descubierta de ciencias de la computación. Ahora es un buen momento para ser un Edison o un Tesla de la lógica, y un poco menos de un Cantor o un Russell. (Siempre es bueno ser un Gödel o una de Turing, por supuesto).

Answer 2

No sé si es lógica o teoría de números, pero el décimo problema de Hilbert sobre los racionales ("¿hay un algoritmo para decidir si una ecuación polinómica dada$f(x_1,\dots,x_n)=0$ con coeficientes racionales tiene una solución racional?") Todavía está abierta, sobre el contraste con la solución negativa de ecuaciones sobre enteros (teorema DPRM).

Answer 3

Si vamos a incluir ciencias de la computación, la big kahuna es, por supuesto, P vs NP, propuesto por primera vez por Gödel en una famosa carta a von Neumann en la década de 1950. Una buena cantidad de los existentes progreso se ha hecho por los lógicos.

Además, el problema puede estar indicado en una particular lógica manera: "Es existencial de segundo orden de la lógica capaz de describir idiomas (finito de estructuras ordenadas linealmente con el trivial de la firma) que la lógica de primer orden con menos de punto fijo no?"

Answer 4

Conjetura omega de Woodin. Ver este pdf