Usted no necesita el lenguaje de la teoría de grupos para hablar sobre algunos aspectos de los grupos. Por ejemplo, el número de teóricos de volver a Fermat estaban estudiando el grupo de unidades de mod $m$ (incluyendo cosas como el orden de una unidad de mod $m$) y los geómetras fueron el estudio de los grupos de movimientos en el espacio mucho antes de que alguien se define un "grupo".
La primera de las formas modulares (de nivel $4$, no el nivel de $1$) fueron encontrados por Gauss en su trabajo sobre la aritmética-media geométrica alrededor de 1800, y habrá que esperar hasta el final del siglo 19 para el término "modular" para ser introducidos en 1890. Yo siempre los enlaces para que esta cerca del final de mi respuesta aquí, pero no quiero hablar de esto más adelante.
En lugar quiero mostrar cómo una razón de interés en las formas modulares en el siglo 19 fue la construcción de no constante meromorphic funciones en las superficies de Riemann de más de un género. Esto explicará por qué alguien podría la atención acerca de las funciones de la satisfacción de una transformación de la regla como $f((a\tau+b)/(c\tau+d)) = (c\tau+d)^kf(\tau)$.
Compacto de las superficies de Riemann de género 1 surgir en la forma $\mathbf C/L$ donde $L$ es un subgrupo discreto de $\mathbf C$. Meromorphic funciones en $\mathbf C/L$ son las funciones elípticas, que en diversas formas se estudiaron durante gran parte del siglo 19 (por Jacobi, Weierstrass, et al.). Nos gustaría encontrar una historia similar para compactar las superficies de Riemann de género mayor que $1$. Al permitir que un grupo discreto $Γ \subset {\rm SL}_2(\mathbf R)$ act en la mitad superior del plano- $\mathfrak h$ por lineal fraccional transformaciones, el coset espacio de $\Gamma\setminus\mathfrak h$ será un compacto de superficie de Riemann (con un número finito de puntos que faltan) y el mayor género de las superficies de Riemann surgir en este camino.
Una colección natural de subgrupos discretos de ${\rm SL}_2(\mathbf R)$ es ${\rm SL}_2(\mathbf Z)$ y sus finito-índice de subgrupos, tales como la congruencia de los subgrupos. Cuando escribo $\Gamma$ a continuación, usted podría considerar la posibilidad de que sea uno de estos grupos de integral de las matrices.
¿Cómo podemos crear no constante meromorphic funciones en $\Gamma\setminus\mathfrak h$? Que es la misma cosa que la creación no constante meromorphic funciones de $F : \mathfrak h \rightarrow \mathbf C$ que $\Gamma$-invariante: $F(\gamma\tau) = F(\tau)$ para todos los $\gamma \in \Gamma$ e $\tau \in \mathfrak h$. Si no somos lo suficientemente inteligentes como para ser capaz de escribir $\Gamma$-funciones invariantes directamente, todavía podemos avanzar por el hallazgo de algunos no-funciones invariantes siempre que no sean invariantes de la misma manera: si
$$
f\left(\frac{a + b}{ct + d}\right) = (ct + d)^kf(τ)
$$
y
$$
g\left(\frac{a + b}{ct + d}\right) = (ct + d)^kg(τ)
$$
para algunos "peso" $k \in \mathbf Z$ y todos los $(\begin{smallmatrix} a& b\\c &d\end{smallmatrix}) ∈ \Gamma$ e $\tau ∈ \mathfrak h$, entonces la proporción $f(τ)/g(τ)$ es $\Gamma$-invariante:
$$
\frac{f((a\tau+b)/(c\tau+d))}{g((a\tau+b)/(c\tau+d))} = \frac{(ct + d)^kf(τ)}{(ct + d)^kg(τ)} = \frac{f(\tau)}{g(\tau)}.
$$
Mientras $f$ e $g$ no son constantes los múltiplos de cada uno de los otros (esencialmente, el espacio de las formas modulares $f$ e $g$ viven en más de uno-dimensional), la relación de $f/g$ va a ser un no constante $\Gamma$-invariante de la función.
Pero ¿por qué deberíamos utilizar fudge factores de la forma $(cτ + d)^k$? Supongamos que para una función de $f : \mathfrak h \rightarrow \mathbf C$ que $f(γτ)$ e $f(τ)$ están siempre relacionados por un nonvanishing factor determinado por $γ ∈ Γ$ e $τ ∈ \mathfrak h$ solo, no por $f$:
$$
f(γτ) = j(γ, τ)f(τ)
$$
para algunos la función $j : \Gamma × \mathfrak h \rightarrow \mathbf C^\times$.
Si también se $g(γτ) = j(γ, τ)g(τ)$ entonces $f(γτ)/g(γτ) = f(\tau)/g(\tau)$, lo $f/g$ es $\Gamma$-invariante. Queremos entender cómo alguien podría pensar en utilizar el factor de elusión $j(\gamma,\tau) = (c\tau+d)^k$ donde $γ = (\begin{smallmatrix} a& b\\ c& d\end{smallmatrix})$. Desde $(γ_1γ_2)τ = γ_1(γ_2τ)$, tenemos $f((γ_1γ_2)τ) = f(γ_1(γ_2τ))$. Esto se convierte en
el de arriba se muestra en la ecuación
$$
j(γ_1γ_2,τ)f(τ) = j(γ_1,γ_2τ)f(γ_2τ).
$$
Desde $f(γ_2τ) = j(γ_2,τ)f(τ)$, la ecuación anterior tiene si y sólo si el "cocycle condición"
$$j(γ_1γ_2, τ) = j(γ_1,γ_2τ)j(γ_2,τ)$$
sostiene, la cual se parece mucho a la regla de la cadena $(f_1 ◦ f_2)'(x) = f_1'(f_2(x))f_2'(x)$. Esto sugiere un ejemplo natural de la función de $j(\gamma,\tau)$ el uso de diferenciación: cuando
$γ = (\begin{smallmatrix} a& b\\ c& d\end{smallmatrix})$ e $\tau \in \mathfrak h$, conjunto
$$
j(γ, τ ) := \left(\frac{a + b}{ct + d}\right)' =
\frac{a(ct + d) − c(a + b)}{(ct + d)^2} =\frac{ad − bc}{(ct + d)^2},
$$
y para $γ ∈ {\rm SL}_2(\mathbf R)$ dice $j(γ, τ) = 1/(cτ + d)^2$.
Al $j(γ,τ)$ satisface la cocycle condición, por lo que no $j(γ,τ)^m$
para cada una de las $m \in \mathbf Z$, lo que motiva a la consideración de la transformación de la regla de las formas modulares con factores de $(cτ + d)^k$, al menos para incluso $k$ (uso $k = -2m$).
La respuesta a https://math.stackexchange.com/questions/312515/what-is-the-intuition-between-1-cocycles-group-cohomology muestra cómo el mismo cocycle condición surge cuando se trata de escribir en la línea descendente de paquetes en una curva elíptica sobre $\mathbf C$.
