Matrices invertibles sobre anillos no conmutativos

Question

Deje que$A\in M_m(R)$ sea una matriz cuadrada invertible sobre un anillo no conmutativo $R$. ¿La matriz de transposición$A^t$ también es invertible? Si no es así, ¿hay contraejemplos fáciles?

La pregunta apareció mientras trabajaba en un papel. Necesitamos imponer que la transposición de cierta matriz de endomorfismos es invertible, y nos preguntamos si eso era lo mismo que preguntar si la matriz es invertible.

Answer 1

Ver: RN Gupta, Anjana Khurana, Dinesh Khurana, y T. Y. Lam, Los anillos más que la transposición de cada invertible la matriz es invertible; J. Álgebra 322 (2009), no. 5, 1627-1636 (MR).

Resumen: vamos a comprobar que la transpuesta de cada matriz cuadrada invertible más de un anillo de $R$ es invertible si y sólo si $R/\text{rad}(R)$ es conmutativa. ...