[EDIT: he reescrito el primer par de párrafos, porque me di cuenta de una mejor manera de decir lo que tenía en mente.]
Hay muchas maneras de definir la dimensión y algunos de ellos dan la misma respuesta, algunos de ellos no.
La profundidad es una especie de dimensión. Tal vez no el más obvio, pero que funciona bien en muchas situaciones.
En general contamos dimensión por las cadenas y la principal diferencia entre los Krull dimensión y profundidad es aproximadamente igual a la diferencia entre divisores de Weil y divisores de Cartier.
Por simplicidad, supongamos que estamos hablando de finito de espacios dimensionales. Dimensión infinita puede ser tratado por decir que contiene arbitrario de dimensiones finitas dimensiones de los espacios donde podemos sustituir "Krull dimensión" o "profundidad" en lugar de "dimensión".
A menudo pienso de Krull dimensión como ir de pequeño a grande: comenzamos con un (cerrada) de punto, de incrustarlo en una curva, entonces la superficie hasta llegar a la máxima dimensión. Sin embargo, para comparar a profundidad probablemente es mejor pensar que es como ir de grande a pequeño: Tome una(n irreductible) divisor de Weil, entonces a(n irreductible) divisor de Weil en que y así sucesivamente hasta llegar a un punto.
En contraste, cuando tratamos con profundidad tomamos divisores de Cartier: comenzamos con el espacio en sí mismo (o un componente irreducible), a continuación, tomar una(n irreductible) hipersuperficie, entonces la intersección de dos hypersurfaces (que no es un "verdadero" hipersuperficie en cada componente irreducible esta condición corresponde a la "cero divisor" disposición)=a codimension $2$ completa intersección, y así sucesivamente hasta llegar a cero dimensional del conjunto.
Así que, yo diría que el sentido geométrico de Cohen-Macaulay es que es un espacio donde nuestra intuición acerca de estas dos nociones de dar el mismo número es correcto. También me gustaría señalar que esto no significa que necesariamente todos los divisores de Weil se Cartier, sólo que uno no puede obtener una secuencia más larga de la posterior Weil divisores de Cartier divisores.
Otro, menos filosófico explicación es la siguiente:
Cohen-Macaulay significa que la profundidad = dimensión. $S_n$ significa que esto es cierto hasta codimension $n$. A continuación, se puede intentar dar sentido geométrico de la $S_n$ propiedad y decir que CM significa que todas esas propiedades.
Así,
$S_1$ --- significa que la existencia de la no-divisores de cero, es decir, que existe hypersurfaces que son como las imaginamos.
$S_2$ --- es quizás el más interesante, o en el que es el más fácil de explicar. Ver esta respuesta a otra pregunta en donde se explica cómo se corresponde con la Hartogs de la propiedad, que es, a la condición de que las funciones definidas en el exterior de un codimension $2$ conjunto puede ser extendida a todo el espacio.
$S_3$ --- No tengo una igualmente buena descripción de esta, pero estoy seguro de que algo puede ser hecho, o algunas personas incluso podría saber algo agradable. Una cosa es segura. Esto significa que cada ("true") hipersuperficie el $S_2$ de la propiedad, que tiene un sentido geométrico como el anterior.
[...]
Así, se podría decir que
$S_n$ significa que todos ("true") hipersuperficie el $S_{n-1}$ de la propiedad, que ya hemos descrito.
Me doy cuenta de que esta descripción de la $S_n$ puede no parecer satisfactorio, pero en la práctica, esto es muy útil. También me gustaría añadir que en los módulos de teoría es realmente importante saber que algunas propiedades son heredadas por hypersurfaces (=fibras de morfismos), diciendo que hypersurfaces se $S_2$ es en realidad una buena propiedad.
Más específicamente, por ejemplo, el espacio total de una familia estable (resp. normal, $S_2$) de las variedades es $S_3$ ("es", como en "tiene que ser"). Entonces uno podría (como en Shafarevich de la conjetura, ver Parshin del Teorema, Arakelov del Teorema, Manin del Teorema, Faltings Teorema) estudio de las deformaciones de estas familias (es decir, integrado en el que las deformaciones de una curva en los módulos de la pila de los correspondientes módulos de problema). A continuación, el espacio total de estas deformaciones deben ser $S_4$ en la cuenta de sus fibras tener que ser $S_3$ desde sus fibras tienen que ser $S_2$. Este hecho explica por qué no es enteramente falso decir que $S_4$ significa que codimension $2$ completa intersecciones satisfacer la Hartogs de la propiedad.
Este hecho me recuerda otra cosa que es importante acerca de CM. Una gran cantidad de propiedades son heredadas por la general hypersurfaces. El CM de la propiedad es heredada por todos ellos. Esto los hace perfectos para inductivo de las pruebas.
Una manera de ver que una superficie es de CM es que normal $\Rightarrow$ CM. Por supuesto, el punto es que lo normal es equivalente a $R_1$ e $S_2$, por lo que siempre implica $S_2$ y si la dimensión es en la mayoría de las $2$,, a continuación, $S_2$ es el mismo como CM. Si usted no tiene una superficie normal, pero no es normal sólo porque tiene el normal cruces en codimension, es CM. Usted también puede tratar de probar directamente por el Hartogs los bienes mencionados anteriormente:
Una reducción de la superficie de la $S$ es Cohen-Macaulay si y sólo si para cualquier $P\in S$ y regular de la función $f$ definido en $U\setminus \{P\}$ para un conjunto abierto $P\in U\subseteq S$ existe una función regular, $g$ a $U$ tal que $g_{|U\setminus \{P\}}=f$.
