Motivación e historia de los operadores pseudodiferenciales

Question

Supongamos que se parte de las ecuaciones diferenciales parciales y del análisis funcional (en $\mathbb R^n$ y en las variedades reales). ¿Qué ejemplos de problemas destacados le han llevado a trabajar con operadores pseudodiferenciales?

Agradecería cualquier buen ejemplo, así como alguna reseña histórica sobre la evolución del tema. (El libro clásico de Shubin dedica unas líneas a la historia y la motivación en el prefacio, pero no hay ejemplos "naturales". No conozco ninguna reseña histórica en la literatura).

Answer 1

No conozco en absoluto la historia, pero tengo que imaginar que el lenguaje se inventó para proporcionar un contexto para hablar de los operadores de solución de las ecuaciones diferenciales. Consideremos, por ejemplo, la EDP $D f = f_0$ donde $D$ es un buen operador diferencial. Tomando las transformadas de Fourier, esto dice que $P(\xi)\hat{f} = \hat{f}_0$ , donde $P$ es el símbolo principal de $D$ (un polinomio). Todo el mundo quiere escribir $\hat{f} = \frac{1}{P(\xi)}\hat{f}_0$ y tomar las transformadas inversas de Fourier. En otras palabras, resolver la EDP es lo mismo que encontrar un operador $S$ cuyo multiplicador de Fourier es $\frac{1}{P(\xi)}$ . Lo más probable es que no sea un polinomio, por lo que $S$ no es evidentemente un operador diferencial. Por lo que sé, muchos de esos libros sobre teoría de operadores pseudodiferenciales tratan de cómo invertir el mayor número posible de operadores en este sentido, conservando toda la regularidad posible. Es muy sutil, pero creo que la motivación está muy cerca de la superficie.

Aparte de eso, también se podría inventar operadores pseudodiferenciales si se preocupara mucho por la teoría espectral de los operadores diferenciales. El teorema espectral para un operador $T$ es más o menos equivalente a la existencia de un "cálculo funcional", es decir, una forma sensata de formar operadores $f(T)$ de varias clases de funciones $f$ en el espectro de $T$ . En el caso de los operadores diferenciales (especialmente en dominios no compactos en los que no es necesario que haya una buena descomposición del espacio de los eigenes), el cálculo funcional se obtiene a menudo mediante la transformada de Fourier, y se manifiesta el cálculo pseudodiferencial.

Answer 2

Permítanme decirlo de esta manera. Muchos objetos naturales de la teoría de las EDP son operadores pseudodiferenciales. Sólo unos pocos ejemplos (además, obviamente, de los operadores diferenciales):

1) operadores integrales singulares en el sentido del análisis armónico;

2) los proyectores de medidas espectrales asociados a un operador diferencial de coeficiente constante s.a., y por tanto a todas las funciones de ese operador, en el sentido de la teoría espectral;

3) la inversa de un operador elíptico;

4) operadores de solución de las ecuaciones de onda, de Schrodinger y de evolución del calor.

Y esta lista es bastante incompleta. Ahora, el cálculo pseudodiferencial es esencialmente un marco que muestra la estructura común subyacente de todos los ejemplos anteriores, unifica sus propiedades y muestra que muchos cálculos de diferentes teorías son sólo casos especiales de teoremas generales. Para dar cabida a ejemplos cada vez más interesantes, la teoría se ha modificado y ampliado varias veces, manteniendo la misma estructura abstracta. Así, no existe un único cálculo, sino varios cálculos que siguen pautas similares.

Además, el procedimiento que asocia un símbolo a un operador, que está en el corazón del cálculo pseudodiferencial, proporciona un marco matemático para el procedimiento de cuantificación en física.

Answer 3

Mis vagos recuerdos de esto:

Como otros han mencionado, los operadores pseudodiferenciales surgieron al intentar establecer teoremas de existencia y regularidad para una EDP lineal de coeficiente variable utilizando la transformada de Fourier, extendiendo los resultados conocidos para las EDP de coeficiente constante. Creo que el primer trabajo en esta dirección, principalmente para las EDP hiperbólicas, es el de Leray y Petrovskii. Otro trabajo importante es el de Lax, "Asymptotic solutions of oscillatory initial value problems", DMJ 1957. El primer artículo que define explícitamente un operador pseudodiferencial fue, creo, el artículo de Kohn y Nirenberg en CPAM 1965. A diferencia de los trabajos anteriores, creo que se centraron en las EDP elípticas.

La extensión y el uso en colectores fue, creo, realizada por Atiyah y Singer en su trabajo original sobre el teorema del índice, así como por Seeley.

Answer 4

En el libro de F. Treves, Introduction to Pseudodifferential and Fourier Integral Operators, Vols 1 and 2, Plenum Press, Nueva York, 1982, se pueden encontrar muchas aplicaciones de los operadores pseudodiferenciales, especialmente a los problemas de valor límite de las ecuaciones elípticas e hiperbólicas.

Un tipo diferente de operadores pseudodiferenciales, típicamente con símbolos no suaves (por ejemplo, homogéneos), aparece en aplicaciones probabilísticas - tales operadores surgen como generadores de procesos de Markov con saltos. Véase

S. D. Eidelman, S. D. Ivasyshen y A. N. Kochubei, Analytic Methods in the Theory of Differential and Pseudo-Differential Equations of Parabolic Type, Birkh\"auser, Basel, 2004,

y

N. Jacob, Pseudo-differential operators and Markov processes, Vols 1-3, Imperial College Press, Londres, 2001-2005.

Answer 5

En el primer capítulo de esta obra se ofrece una motivación ligeramente diferente para los operadores integrales de Fourier y los operadores pseudodiferenciales libro - Operadores integrales de Fourier, capítulo V. W. Guillemin: _25 años de operadores integrales de Fourier_ . En este capítulo, V. Guillemin presenta este tema desde el punto de vista de los haces conormales y luego muestra cómo los operadores pseudodiferenciales son un caso especial de operadores que salen de las distribuciones de Fourier.

La sección 3 de este capítulo también ofrece un resumen histórico de esta teoría.

Es interesante que Guillemin muestre también aquí que los operadores pseudodiferenciales pueden utilizarse para afinar la teoría de las propias distribuciones conormales, lo que supone una aplicación natural pero inesperada de los operadores pseudodiferenciales.