un lema categórico de Nakayama?

Question

Existen los siguientes Nakayama estilo lemmata:

1. (la clásica Nakayama lema) Deje $R$ ser un anillo conmutativo con $1$ e $M$ un finitely generadas $R$-módulo. Si $m_1, \ldots, m_n$ generar $M$ modulo $I$ donde $I \subset \mathrm{Jac}(R)$, entonces se generan los $M$.

2. (el graduado de Nakayama lema) Ver Cómo memorizar (entender) Nakayama del lema y sus corolarios?.

3. (el filtrado Nakayama lema) Ver Cómo memorizar (entender) Nakayama del lema y sus corolarios?.

4. (la topológico Nakayama lema, ver [Neukirch, Schmidt, Wingberg], Cohomology de los Campos de Número, (5.2.18)): Vamos a $\mathcal{O}$ ser un conmutativa anillo local completa en el $\mathfrak{m}$-ádico de topología con finito de residuos de campo de carácter $p$. Suponga $G$ es un pro-$p$-grupo e $M$ es un compacto $\mathcal{O}[[G]]$-módulo. Si $M/\mathfrak{m}$ es un finitely generadas $\mathcal{O}[[G]]$-módulo, por lo que es $M$.

5. (Burnside del teorema de la base, consulte también http://groupprops.subwiki.org/wiki/Burnside%27s_basis_theorem) Deje $G$ ser un grupo de tal forma que su Frattini subgrupo $\Phi(G)$ es finitely generado. A continuación, un subconjunto de $G$ genera $G$ fib se genera el modulo $\Phi(G)$.

[tbc]

Ahora mi pregunta es: ¿existe un común categórica la versión, como no es una categoría de la generalización de Baer criterio (En un adecuado abelian categoría, un objeto $I$ es inyectiva si para todos los subobjetos $U$ de un generador de $G$ y morfismos $U \to I$ hay un ascensor $G \to I$)?

Answer 1

Permítanme describir un común generalización de Nakayama del lemas y Burnside del teorema de la base que puede arrojar algo de luz aquí. Deje $G$ ser un grupo y $P$ un conjunto de endomorphisms de $G$. Un $P$-subgrupo será un subgrupo de $G$ que es cerrado bajo actuando por elementos de $P$. Vamos a llamar a $\mathbb{Fr}_P(G)$ el "$P$-Frattini subgrupo de $G$", que se define como la intersección de todos los maximal $P$-subgrupos. Nota los siguientes casos especiales:

• Al $P$ está vacía, a continuación, $\mathbb{Fr}_P(G)$ es el Frattini subgrupo de $G$.
• Al $R$ es un anillo, $G$ aditivo grupo y $P$ su multiplicativo semigroup, a continuación, $\mathbb{Fr}_P(G)$ es $J(R)$, el Jacobson radical de $R$.
• Al $P$ es como el anterior, y $G$ es $R$-módulo, a continuación, $\mathbb{Fr}_P(G)$ contiene $J(R)G$.

Vamos a denotar la más pequeña de $P$-subgrupo que contiene un conjunto $S$ por $\langle S\rangle_P$, y llame a un elemento $x\in G$, que no es un generador de si $G=\langle S,x \rangle_P$ siempre implica $G=\langle S\rangle_P$. Tenemos el siguiente teorema:

El conjunto de los no generadores de $G$ es, precisamente,$\mathbb{Fr}_P(G)$.

Tomando $P$ vacío obtenemos Burnside del teorema de la base. Tomando $G$ a a ser un $R$-módulo de e $P$ a ser el multiplicativo semigroup de $R$ recuperar Nakayama del lexema. Si $R$ es graduado de anillo y tomamos $P$ a ser el semigroup de los elementos positivos de grado y $G$ a ser un graduado $R$-módulo, podemos recuperar el graduado de la versión de Nakayama del lema, algo similar para la versión filtrada. Seguramente alguien ha tomado este punto de vista (lo Que he aprendido de Gruenberg del "Cohomological temas en teoría de grupos") para definir un Frattini objeto de una gran clase de categorías?

Answer 2

Déjame construir un poco en Gjergji la respuesta, utilizando su terminología, con el fin de acercarse a cómo he escuchado Nakayama del lema declaró. Supongamos, además, que el $\mathbb{Fr}_p(G)$ es finitely generado y deje $S \subseteq G$. Entonces, si la imagen de $S$ $P$-genera $G/\mathbb{Fr}_p(G)$, luego $S$ $P$-genera $G$. (Hmm, no es claro para mí que $\mathbb{Fr}_p(G)$ siempre es normal en $\mathbb{Fr}_p(G)$, aunque es en todos los ejemplos hasta ahora. Por lo que puede que tenga que añadir que como una hipótesis.)

Prueba: Vamos a $x_1$, $x_2$, ..., $x_r$ $P$-generar $\mathbb{Fr}_p(G)$. A continuación, $G=\langle S, x_1, x_2, \ldots, x_r \rangle_P$ (ejercicio!). En repetidas ocasiones con la definición de un nongenerator, $G = \langle S \rangle_P$. $\square$