Axioma de elección, Banach-Tarski y realidad

Question

La siguiente no es una pregunta propiamente matemática, sino más bien metamatemática. No obstante, espero que sea apropiada para este sitio.

Una de las consecuencias no evidentes del axioma de elección es la Paradoja de Banach-Tarski y por tanto la existencia de conjuntos no medibles.

Por otro lado, parece que hay modelos de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel sin axioma de elección donde todo conjunto sería medible.

¿Qué dice esto sobre la "plausibilidad" del axioma de elección? ¿Existen razones por las que sea plausible (para físicos, filósofos, matemáticos) creer que no todos los conjuntos deben ser medibles? ¿La paradoja de Banach-Tarski es una razón más para "creer" en el axioma de elección, o por el contrario lo pone en duda?

Answer 1

Hay dos ingredientes del teorema de descomposición de Banach-Tarski:

1. La noción de espacio junto con las nociones derivadas de parte y descomposición .
2. El axioma de la elección.

La mayoría de las discusiones sobre el teorema giran en torno al axioma de elección. Me gustaría señalar que la noción de espacio también se puede someter a examen.

La descomposición Banach-Tarski de la esfera produce partes no medibles de la esfera. Si restringir la noción de "parte" a "subconjunto medible" el teorema desaparece. Por ejemplo, si pasamos a un modelo de teoría de conjuntos (sin elección) en el que todos los conjuntos son medibles, no tendremos Banach-Tarski. Todo esto es bien conocido.

De forma un tanto sorprendente, podemos hacer desaparecer la descomposición de Banach-Tarski mediante ampliando la noción de subespacio, y mantener la elección también. Alex Simpson en Medida, aleatoriedad y sublocales (Annals of Pure and Applied Logic, 163(11), pp. 1642-1659, 2012) muestra que esto se consigue generalizando la noción de espacio topológico a la de localidad . Lo explica así:

"Las diferentes piezas de las particiones definidas por Vitali y por Banach y Tarski están profundamente entrelazadas entre sí. Según nuestra noción de "parte", dos piezas así entrelazadas no son disjuntas entre sí, por lo que la aditividad no se aplica. Una explicación intuitiva para el fracaso de la disyunción es que, aunque dos piezas de este tipo no comparten ningún punto en común, sin embargo se superponen en el "pegamento" topológico que une los puntos vecinos en $\mathbb{R}^n$ juntos".

Peter Johnstone explicó en El punto de la topología sin sentido por qué los locales tienen un significado matemático que va mucho más allá de fijar un extraño teorema sobre la descomposición de la esfera. ¿Por qué no todo el mundo utiliza locales? No lo sé, creo que es un mero accidente histórico. En algún momento del siglo XX los matemáticos perdieron colectivamente la idea de que el espacio es algo más que sus puntos.

Personalmente, prefiero culpar de los problemas a la noción de espacio, más que al axioma de elección. En la medida de lo posible, los problemas geométricos deberían ser asunto de la geometría, no de la lógica o la teoría de conjuntos. Los matemáticos están acostumbrados a operar con varios tipos de espacios (en geometría, en análisis, en topología, en geometría algebraica, en computación, etc.) y, por tanto, parece natural que uno se preocupe de usar la noción correcta de espacio primero, y de los principios fundacionales subyacentes después. Las buenas matemáticas son inmunes a los cambios en los fundamentos.

Answer 2

Es notable que la mayoría de las consecuencias matemáticas del axioma de elección son en realidad consecuencias de contable elección. (Todo conjunto infinito contiene un subconjunto contable, una unión contable de conjuntos contables es contable, etc.) El teorema de Hahn-Banach es un contraejemplo, pero sólo si lo quieres para espacios no separables, y no se me ocurre ninguna vez que lo haya necesitado. Cuando se restringe a espacios de Banach separables, ¡no requiere ningún principio de elección en absoluto! Mientras que las consecuencias aparentemente patológicas de la elección (existencia de conjuntos no medibles, Banach-Tarski, buen ordenamiento de la recta real) generalmente no se derivan de la elección contable.

Así que el argumento del valor matemático me parece que apoya más la elección contable que la elección plena. Pero no es un argumento muy sólido, ¿verdad? No podemos decidir si un axioma es verdadero basándonos en si nos gustan sus consecuencias. Como mucho es sugerente.

Por cierto, cuando leí a Zermelo tuve la impresión de que tenía una gran habilidad polémica, pero ninguno de sus argumentos parecía llegar directamente al verdad del axioma. Defiende el valor matemático del axioma. Señala que sus críticos han utilizado en ocasiones el axioma sin saberlo, lo cual es un punto devastador, pero tiene poca relación con la cuestión de la verdad. (Si no me equivoco, esos usos involuntarios eran todos de elección contable, por cierto).

Preguntas si uno debe "creer" en el axioma de elección, y creo que tienes razón al poner la palabra "creer" entre comillas. Creo firmemente que las afirmaciones de la teoría de conjuntos son objetivamente significativas, pero también creo que los filósofos de las matemáticas han hecho un trabajo muy pobre a la hora de aclarar qué son los conjuntos. (Halmos: "Una manada de lobos, un racimo de uvas o una bandada de palomas son ejemplos de conjuntos de cosas". Negro: "Debería entonces tener sentido, al menos a veces, hablar de ser perseguido por un conjunto, o de comer un conjunto, o de poner en fuga un conjunto"). Si ni siquiera podemos entender eso, es difícil llegar a cuestionar la verdad de los axiomas cuestionables.

Answer 3

Las otras respuestas no parecen haber dicho mucho acerca de por qué el axioma de la elección es ampliamente considerado como plausible. Permítanme que intente responder a esa pregunta.

En primer lugar, eliminemos algunas no razones. En respuesta a tus preguntas, no conozco a nadie que piense que la paradoja de Banach-Tarski sea una razón para creer en el axioma de elección. Tampoco conozco a nadie que argumente: "Es a priori plausible que existan conjuntos no medibles; así que el hecho de que el axioma de elección arroje la atractiva conclusión de que hay conjuntos no medibles es un punto a favor de creer en el axioma de elección". En cambio, los que se sienten cómodos con la existencia de conjuntos no medibles suelen empezar por aceptar el axioma de elección, y luego aceptan los conjuntos no medibles como "parte del territorio" que viene con el axioma de elección.

Los que piensan que Banach-Tarski pone en duda el axioma de elección suelen tener una predisposición filosófica que se supone que las matemáticas deben modelar el mundo físico de cerca . Así, por ejemplo, $\mathbb R^3$ no es sólo una estructura matemática aleatoria que estudiamos puramente por sí misma; se supone que es un modelo decente del espacio físico (o al menos, de subconjuntos abiertos de $\mathbb R^3$ se supone que modelan regiones localizadas del espacio físico). Banach-Tarski, cuando se le da una interpretación física directa de esta manera, produce algo que "sabemos" que no tiene sentido físico, y por lo tanto, si pensamos que las matemáticas se supone que producen la verdad física de esta manera, entonces Banach-Tarski nos va a llevar a rechazar algo en las matemáticas. Si ese "algo" que rechazamos es el axioma elegido es una cuestión aparte, y la excelente respuesta de Andrej Bauer muestra que hay otras opciones, pero el punto que quiero destacar es que nos van a llevar por este camino en primer lugar sólo si tenemos ciertas presuposiciones sobre cómo se supone que se relacionan las matemáticas y la física.

Hay otros que no ven la teoría de conjuntos de esta manera. Según ellos, la teoría de conjuntos se supone que es sobre colecciones abstractas de cosas Y la forma de llegar a los axiomas es pensando de forma abstracta qué propiedades deben tener, no comparándolos con el mundo físico. El axioma de la elección puede pensarse como si dijéramos que si tenemos un montón de colecciones no vacías de cosas, entonces hay otra colección de cosas que contiene un elemento de cada una de las colecciones no vacías originales. Dicho así, el principio suena intuitivamente plausible, y yo diría que esta plausibilidad intuitiva es, al menos implícitamente, el principal argumento en la mente de la mayoría de la gente que acepta el axioma de la elección. Si esta es tu forma de pensar, los conjuntos no medibles y Banach-Tarski no te van a disuadir de aceptar el axioma de elección. Esos fenómenos sólo te llevarán a decir que no podemos llegar a predicciones físicas a partir de las matemáticas de una manera tan ingenua; en cambio, para hacer física, tenemos que formular teorías físicas . Por supuesto, las matemáticas pueden ayudar mucho a la construcción de teorías físicas, pero no es tan sencillo como decir que la teoría matemática de $\mathbb R^3$ es nuestra teoría del espacio físico.

Estas dos opciones no son las únicas. La página web obra de Solovay muestra que se puede, en gran medida, tener el pastel y comerlo también trabajando en un universo teórico de conjuntos donde todos los subconjuntos de $\mathbb R^n$ son medibles por Lebesgue y se dispone de una versión debilitada, pero aún bastante fuerte, del axioma de elección conocido como "elección dependiente". No está del todo claro por qué el modelo de Solovay no se ha hecho más popular, pero tal vez parte de la razón sea que se siente como una "posición de compromiso", y las personas de los dos campos diferentes mencionados no han visto ninguna necesidad de migrar a ese tipo de compromiso.

Answer 4

¿Hay razones por las que es plausible (para los físicos, los filósofos, matemáticos) creer que no todos los conjuntos deben ser medibles?

Sí. Si todo conjunto de reales es medible por Lebesgue, entonces se puede particionar $\mathbb{R}$ en más que continuo muchos trozos no vacíos separados por pares. (Véase esta respuesta y los comentarios para los detalles).

Sin duda, la paradoja de Banach-Tarski parece poco intuitiva. Pero tener un conjunto que puede dividirse en más trozos de los que había originalmente... es simplemente un error.

Answer 5

Los argumentos de la física pueden no servir. Aquí está Bryce DeWitt revisando Stephen Hawking y G.F.R. Ellis utilizando el axioma de la elección en 1973:

El libro también contiene un fallo de distinción entre las matemáticas y la física que es realmente grave. Se trata de la demostración del teorema principal del capítulo 7, que dado un conjunto de datos de Cauchy en una hipersuperficie lisa de una hipersuperficie lisa, existe un único desarrollo máximo de las ecuaciones del espacio vacío de Einstein. La prueba, esencialmente debida a Choquet-Bruhat y Geroch, hace uso del axioma de elección, bajo la forma del lema de Zorn. Ahora los matemáticos pueden usar este axioma si si lo desean, pero no tiene cabida en la física. Los físicos ya están ya están estirando las cosas, desde un punto de vista operacional, al usar el axioma del infinito.

No se trata aquí de resucitar un viejo y anticuado controversia matemática. El simple hecho es que el axioma de elección nunca es realmente necesario, excepto cuando se trata de conjuntos y y relaciones de forma no constructiva. Muchos notables y hermosos teoremas notables y hermosos pueden ser demostrados sólo con su ayuda. Pero su irrelevancia para la física debería ser evidente por el hecho de que su negación, como Paul Cohen nos ha mostrado, es igualmente consistente con los otros axiomas de la teoría de conjuntos. Y estos otros axiomas son suficientes para las construcciones de los números reales, los espacios de Hilbert, las álgebras C* y las variedades pseudo-riemannianas de la física teórica.

Al "demostrar" el teorema de desarrollo global de Cauchy con la ayuda del lema de Zorn lo que se hace en realidad es suponer que existe una "función de elección función" para cada conjunto de desarrollos que extienden un determinado desarrollo de Cauchy. Esto, por supuesto, es una suposición. El trabajo del físico de El trabajo del físico no está hecho hasta que pueda mostrar, mediante un algoritmo o construcción algoritmo o construcción, cómo se podría en principio seleccionar siempre un miembro de cada conjunto de desarrollos. Si no lo hace, no ha demostrado nada. nada.

Algunos físicos quieren utilizar el axioma de elección, pero otros no.