Esta es una cuestión que se ha discutido mucho sobre los Fundamentos de la Matemática de la lista de correo (por desgracia con más polémica de lo necesario OMI—aunque he de confesar que yo he sido culpable de avivar las llamas un poco porque me encanta ver un buen argumento!).
Mi sensación es que para preguntar si univalentes fundaciones o la teoría de conjuntos es el "mejor de la fundación para las matemáticas" es empezar con mal pie. El fraseo de la pregunta de esa manera, parece dar por sentado que sabemos (1) lo que es una "fundación para las matemáticas" es, (2) lo que hace que una fundación buena, y (3) que si elegimos la Fundación 1 en lugar de 2 Fundación, a continuación, será porque la Fundación 1 es "mejor". No creo que ninguno de estos debe darse por sentado. Hay varios ejes a lo largo de la cual uno puede evaluar la calidad de una propuesta de la fundación para las matemáticas.
Creo que es mejor empezar por preguntarnos qué UF es y para qué sirve. Probablemente el punto más importante a reconocer es que homotopy teoría (o grandes trozos de al menos) resultan ser muy naturalmente formalizado en el tipo de teoría, y mucho menos, naturalmente, formalizado en conjunto tradicional de la teoría de las fundaciones. Permítanme citar un FOM post por Urs Schreiber:
Había sido mencionado aquí antes de que homotopy tipo de teoría ofrece
algunas de las ventajas para el conjunto formal basado en las matemáticas, tales como la provisión de
cociente y tipos de isomorfismo invariancia. Lo que no parece haber sido
menciona mucho antes de aquí es que el punto clave de homotopy tipo
la teoría, sin embargo, es que va mucho más allá de esto, ya que proporciona un
nativo (es decir, directo, sintético, ver más abajo) la formalización no sólo de
constructivo de la teoría de conjuntos, pero de homotopy teoría (aka algebraicas
la topología). Y lo genial es: de homotopy de la teoría moderna y
más poderosa encarnación en el disfraz del infinito-toposes.
Como llanura dependiente del tipo de teoría es el lenguaje interno de
localmente cartesiano categorías cerradas, por lo que homotopy tipo de teoría es la
lenguaje interno de local cartesiana cerrada infinito-categorías, y
homotopy tipo de teoría con univalentes tipo de universos es el interior de la
el lenguaje del infinito-toposes. Esto significa que homotopy tipo
la teoría proporciona una "estructural" de la fundación de la clase que William
Lawvere había encontrado en el topos de la teoría, pero refinado a homotopy teoría
en el refinado disfraz de infinito-topos de la teoría.
El hecho de que homotopy de la teoría y de la teoría tipo están tan bien adaptados el uno al otro es no trivial de la visión. A partir de un conjunto tradicional de la teoría del punto de vista, homotopy teoría a primera vista, requiere un poco más de ZFC, porque se invoca Grothendieck universos. Sin embargo, resulta que el núcleo de la materia, se requiere mucho menos lógico fuerza que eso. De nuevo, permítanme citar a alguien, esta vez Neel Krishnaswami:
Voevodsky está llegando a tipo de teoría desde el punto de vista de un
homotopy teórico. El conjunto tradicional de la teoría de las formulaciones de que
objeto de hacer uso de Grothendieck universos, y así ir más allá de
ZFC. Sin embargo, el gran descubrimiento de su univalentes fundamentos del proyecto
es que homotopy teoría tiene una natural formalización en Martin-Lof tipo
la teoría, que tiene las pruebas de la teoría de la fuerza de Kripke-Platek conjunto
la teoría (es decir, mucho menos de ZF). (IIRC, Anton Setzer ha escrito un
encuesta papel en esto, la "Prueba de la Teoría de Martin-Lof Tipo de Teoría: un
Visión general".)
Por lo general, no es ninguna sorpresa cuando un teorema puede ser codificado en un más débil
las fundaciones, pero la verdadera sorpresa detrás de homotopy tipo de teoría es que
un tipo más adecuado de la teoría de la vista aparentemente requiere menos de codificación trucos
de la visión tradicional. La aparente necesidad de grandes construcciones
se desvanece debido a que el tipo de estructura de la teoría tipo le impide
la realización de construcciones que están de acuerdo en puntos, pero que no
respecto invariantes geométricos como una continuidad. Como resultado, usted puede
ahora hablar de el viejo y simple de las funciones en lugar de las naturales transformaciones
en gavilla categorías o lo que sea.
Una consecuencia práctica de esto es que los pedazos grandes de homotopy teoría puede ser (y han sido) fácilmente se formaliza mediante una prueba auxiliar que está diseñado con la UF en mente. De hecho, es impresionante lo mucho vanguardia homotopy teoría ha sido realmente mecánicamente formalizado; no estoy seguro de que cualquier otro subcampo de la matemática puede competir en este sentido.
Ahora, uno puede contador (y algunos han contrarrestado) que se formalice el Blake-Massey teorema—o de otras importantes teoremas en homotopy tipo de teoría que se han promocionado como éxitos para UF-basado en la prueba de los asistentes—se puede hacer con sólo una modesta cantidad de esfuerzo adicional que el uso de otro tipo de la teoría de la prueba asistentes o incluso de la teoría de la prueba de los asistentes. También se puede contador de que el teorema de que está siendo probado en UF no es literalmente el mismo teorema que queremos conseguir mediante la expansión de todas las definiciones en un conjunto tradicional de la teoría de la forma, y lo que es "hacer trampa" para paliar el trabajo necesario para mostrar que el tipo de la teoría de la formulación y el conjunto de la teoría de la formulación son esencialmente equivalentes. Estas objeciones son técnicamente correcto, pero creo que oscurezcan el punto importante que homotopy la teoría y la UF realmente son extremadamente natural.
Las cosas se ponen más interesantes cuando nos preguntamos si la UF se adapta bien a otras áreas de las matemáticas, además de homotopy teoría. En principio, la UF es poderoso y lo suficientemente flexible como para formalizar la mayoría, si no todos los de matemáticas. La pregunta es, ¿por qué quieres? Hay un par de razones posibles.
Podría ser que la formalización de las matemáticas con una UF basado en la prueba assistant es mucho más fácil y más natural que en cualquier otro medio de prueba asistente. Fuera de homotopy teoría, creo que el jurado está todavía fuera de éste. Tipo de la teoría de la prueba de los asistentes, tales como el Coq, HOL Luz, e Isabelle no parecen haber ganado la parte superior de la mano de más de Mizar (probablemente la más importante prueba de asistente basado en la teoría de conjuntos), aunque no tengo claro si esto es debido a las ventajas intrínsecas de tipo de teoría sobre la teoría de conjuntos. Pero sería una UF basado en la prueba de ayudante han hecho mucho más fácil para la formalización del cuatro-color teorema o Feit–Thompson? Como ya he dicho, creo que es demasiado pronto para hacer un juicio definitivo.
Podría ser que la UF proporciona una mejor conceptual de base para toda la matemática de la teoría de conjuntos no. El jurado podrá todavía estar en esta también, pero en mi opinión, es dudoso que la UF nunca suplantar totalmente la teoría de conjuntos en este sentido. En un sentido, la pregunta es algo de un académico. Sin duda la pregunta más importante en los fundamentos de las matemáticas es si toda la matemática se puede poner sobre una base común en un simple y con rigor, y esa pregunta ya haya sido respondida afirmativamente, por la teoría de conjuntos. Una vez que el trabajo ha sido hecho, es mucho menos difícil ver cómo el uso de algún otro método para unificar todas las matemáticas, porque siempre podemos piggy-back sobre la teoría de conjuntos. Uno puede hacer estética argumentos de algunas otras de la fundación, pero va a ser difícil escapar a la sensación de que la elección de la fundación es una cuestión de gusto personal.
Para resumir: UF parece ser el "derecho" de la fundación para homotopy teoría, aunque para apreciar este hecho, totalmente, usted puede ser que necesite para aprender un poco de homotopy teoría. Si la UF es el "derecho" de la fundación para una amplia franja de las matemáticas que que—bien, mi opinión personal es que debemos adoptar un "esperar y ver" enfoque y mantener una mente abierta.
