Problemas fundamentales cuya solución parece completamente fuera de alcance

Question

En muchas áreas de las matemáticas hay problemas fundamentales que se embarrasingly natural o simple para el estado, pero cuya solución parece tan fuera de su alcance que apenas son mencionados en la literatura aunque la mayoría de los practicantes saber acerca de ellos. Estoy buscando específicamente para los problemas abiertos de la especie de que cuando uno oye primero de ellos, la primera reacción es decir: que no se sabe ??!! Como ejemplos, mencionaré tres problemas de geometría que yo creo que entran en esta categoría y espero que la gente de tono en más problemas de este tipo, o me dirija a la literatura, donde estos problemas son estudiados.

Los dos primeros problemas son el "santo grial" de la presión sistólica de la geometría---el estudio de las desigualdades que implican el volumen de un colector de Riemann y la longitud de su menor periódico geodésica---, el tercer problema es uno de los Busemann-los problemas y, a mi juicio, uno de los más bonitos de los problemas abiertos afín convexa de la geometría.

La presión sistólica de la geometría de simplemente conectado a los colectores. ¿Existe un constante$C > 0$, de modo que para cada métrica de Riemann $g$ en los tres-esfera, el volumen de $(S^3,g)$ está acotado abajo por el cubo de la longitud de su menor periódico geodésica veces la constante de $C$?

Comentarios.

• Para los dos-ámbito este es un teorema de Croke.
• Otra prueba básica para el estudio de este problema es $S^1 \times S^2$. En este caso el grupo fundamental no es trivial, pero en cierto sentido es pequeño (es decir, el colector no es esencial en el sentido de Gromov).
• Hay una muy tímida sugerencia para este problema en Gromov del Llenado de Riemann manifods.

Sharp sistólica de la desigualdad de la real proyectiva del espacio. Si una métrica de Riemann en proyectivos espacio de tres tiene el mismo volumen que el canónica de la métrica, pero no es isométrico a él, lo lleva a un (no contráctiles) periódico geodésica de longitud menor que $\pi$?

Comentarios.

• Para la real proyectiva del plano esta es la Pu del teorema.
• En su vista Panorámica de la geometría de Riemann, Berger duda en las conjeturas de que este es el caso (él dice que no es claro que esta es la manera correcta de apuesta).
• En un reciente preprint con Florent Balacheff, he estudiado paramétrico versión de este problema. Los resultados sugieren que la formulación anterior es la forma correcta de apuesta.

Isoperimetry de métrica de bolas. Por lo tridimensional normativa espacios métricos bolas de soluciones de la desigualdad isoperimétrico?

Comentarios.

• En dos dimensiones de este problema fue estudiado por el Radón. Hay un montón de normas sobre el plano para que la métrica de los discos son soluciones del problema isoperimétrico. Por ejemplo, la normativa de avión para que el disco es un hexágono regular.

• Este es uno de los Busemann-los problemas.

• El volumen y el área se define mediante la Hausdorff $2$ e $3$-dimensiones de la medida.
• No he visto ninguna solución parcial, incluso de la mayoría de la clase modesta, a este problema.
• Busemann y la pequeña dio un hermoso primaria de la interpretación de este problema:

Tomar un convexo cuerpo simétrico con respecto al origen y un plano de apoyo en algún punto de $x$. Traducir el plano al origen, se cruzan con el cuerpo, y considerar el cono sólido formado por esta sección central y el punto de $x$. La conjetura es que si el el volumen de todos los conos formados en este camino siempre es el mismo, entonces el cuerpo es un elipsoide.

Problema adicional: se me había olvidado otra hermosa problema del papel de Busemann y Chica: Problemas en cuerpos convexos, Mathematica Scandinavica 4: 88-94.

Minimality de pisos en la normativa de espacios. Dado un cerrado $k$-dimensiones poliedro en un $n$-dimensiones normativa espacio con $n > k$, es cierto que el área (tomado como $k$-dimensional medida de Hausdorff) de cualquier faceta no exceda de la suma de las áreas de las restantes facetas?

Comentarios.

• Al $n = k + 1$ este es un célebre teorema de Busemann, que convexos geómetras son más propensos a reconocer en la forma siguiente: la intersección cuerpo de un centro simétrica convexo cuerpo es convexa. Una prueba interesante y una profunda extensión de este teorema fue dada por G. Berck en la Convexidad de la Lp-intersección de cuerpos, Adv. de Matemáticas. 222 (2009), 920-936.
• Al $k = 2$ este tiene "sólo" ha demostrado por D. Burago y S. Ivanov: http://front.math.ucdavis.edu/1204.1543
• Es que no es cierto que totalmente geodésica submanifolds de Finsler espacio (o una longitud de espacio métrico) son mínimos para la medida de Hausdorff. Berck y me dio un contra-ejemplo en Lo que está mal con la medida de Hausdorff en Finsler espacios, los Avances en las Matemáticas, vol. 204, no. 2, pp 647-663, 2006.

Answer 1

Una prueba de esta conjetura de Erdos ciertamente llamaría la atención, levantaría las cejas y llamaría la atención del comité de la Medalla Fields.

• Si$\sum_{a \in A} \frac 1a$ diverge y$A\subseteq {\mathbb N}_{>0}$, entonces$A$ contiene una progresión aritmética de 3 términos.

Probablemente "diverge" puede ser reemplazado por "es mayor que 4".

Answer 2

¿Es cada curva algebraica en$\mathbb P^3$ la intersección teórica de conjuntos de dos superficies algebraicas? ¡No conocida!

Answer 3

Esto viene en Waring del Problema, pero es tan monstruosamente simple que se ha tomado vida propia. Deje $\{ x \} = x \mod 1 = x-\lfloor x \rfloor$ la parte fraccionaria de $x$.

• Nada dice acerca de la secuencia de $\{ (3/2)^n \}.$

Los cálculos de apoyo la idea de que la secuencia debe distribuidos de manera uniforme en $[0,1]$, como para casi todos los $x$ la secuencia de $\{x^n\}$ es u.d. Pero con $x=3/2$, no hay ningún valor que se sabe para ser un punto límite, ni cualquier valor conocido para que no sea un punto límite, se desconoce si hay límite de dos puntos, se desconoce si la secuencia es infinitamente a menudo en $[0,1/2)$ o que es infinitamente a menudo no se en $[0,1/2)$. Realmente, no se sabe nada.

Como un comentario final sobre este problema, la proporción áurea es especial. Con $x=\phi=(1+\sqrt 5)/2$, para cada $\epsilon>0$ hay sólo un número finito $n$ con $$\epsilon< \{\phi^n \} < 1-\epsilon.$$

Answer 4

Todavía no se sabe si el problema de determinar si un lineal entero de recurrencia (de los que la recurrencia de Fibonacci $F_n = F_{n-1}+F_{n-2}$, $F_1=F_0=1$ es el más conocido) contiene un cero decidable o no. Incluso en el caso de recurrencias de profundidad 6 está actualmente abierto. (He discutido este problema en http://terrytao.wordpress.com/2007/05/25/open-question-effective-skolem-mahler-lech-theorem/ .) Tenemos el famoso Skolem-Mahler-Lech teorema que da un criterio simple como que cuando el número de ceros es finito, pero nadie sabe cómo llegar desde que a la hora de decidir cuando hay un cero en todo. (Este es quizás el ejemplo más simple de una gran familia de los resultados en la teoría de los números en los cuales uno tiene una ineficaz teorema de finitud para el número de soluciones a un cierto número teórico de problema (en este caso, una exponencial Diophantine problema), pero no hay manera de determinar si existe una solución en absoluto. Otros ejemplos famosos incluyen Faltings' y teorema de Siegel teorema.)

EDIT: a Ver también esta encuesta de Halava-Harju-Hirvensalo-Karhumäki de 2005 sobre este problema: http://tucs.fi/publications/view/?id=tHaHaHiKa05a

Answer 5

Conjetura de Artin: hay infinitos números primos$p$ para los cuales 2 es una raíz primitiva, es decir, 2 genera el grupo multiplicativo de${\mathbb Z}/p{\mathbb Z}$.

La conjetura es en realidad un poco más general, ¡pero al menos deberíamos poder decir qué sucede con 2! El OEIS enumera los primeros varios primos de este tipo.