¿Qué definiciones fueron cruciales para una mayor comprensión?

Question

A menudo la parte más difícil de aventurarse en un campo como investigador es llegar a una definición apropiada. A veces las definiciones sugieren a sí mismos de forma muy natural, como cuando se resuelve un problema y, a continuación, preguntar, '¿y si me generalizar esta un poco?'

Otras veces surgen sólo después de luchar con un tema y darse cuenta de que te estuviera mirando desde un ángulo equivocado. Una definición apropiada puede hacer toda la diferencia, mediante la reorganización del pensamiento y de la sheding luz sobre los problemas que, de alguna manera, haciéndolos más nítida y más centrado.

Me gustaría recopilar evidencias y las instancias de esta idea. Una respuesta que debería ser una historia de cómo apareció alguien con una buena definición y cómo esto fue crucial para su comprensión de un tema. Si hablamos de alguien más, entonces lo ideal proporcionar una referencia.

(Mi interés en esto es principalmente psicológico, es decir, cómo la acción de nombrar algo de alguna manera trae a la existencia y organiza el mundo a su alrededor.)

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Se sugirió que esta cuestión es un duplicado de la (Ejemplos de anticipación a través de una buena definiciones), que le pregunta sobre buenas definiciones. Se señaló allí, y también aquí, que básicamente todas las nociones que ha soportado la prueba del tiempo de calificar como buenas definiciones.

Yo no estaba pidiendo, aunque parece que muchas personas interpretado de esta manera, para una colección de buenas definiciones, pero para una colección de historias que mostraba cómo una adecuada definición de la realidad ha cambiado la percepción sobre un campo.

Un típico ejemplo la historia sería la de tener a alguien diciendo "Espere un momento! Yo no debería estar tratando con [concepto de] a todos!!!! Ese es el camino equivocado para acercarse a este. En lugar debo definir este otro hombre, [concepto B], y entonces todo va a tener mucho más sentido!"

Me doy cuenta de que esto es duro para hacer precisos, por lo que entiendo que si la pregunta se cierra.

Answer 1

Una definición famosa que condujo a un punto de vista completamente nuevo es la definición de distribución de Schwartz. Cambió la comprensión de lo que es una "función", incluso entre los ingenieros.

En realidad, la definición de función de Dirichlet en el siglo XIX también aclaró muchas cosas.

Answer 2

Me sorprende que nadie haya mencionado la definición de límites $\epsilon,\delta$ de Weierstrass. Esto permitió a los matemáticos razonar rigurosamente sobre la convergencia y eliminar numerosas inconsistencias aparentes.

Answer 3

Un buen ejemplo es la definición de colectores, aunque es menos de una definición única y más de una evolución de la noción.

Los antecedentes de la moderna geometría diferencial se encuentra en tratar de entender los casos donde el postulado paralelo falla. Sin embargo, tratando de rigor precisar qué tipo de espacios para el estudio es bastante complicado. Es sólo tangencialmente relacionados, pero hay un famoso papel por Lakatos llama "Pruebas y Refutaciones" acerca de la característica de Euler sobre superficies que da una idea de por qué la definición de espacios, precisamente, es un no-problema trivial.

Riemann tenía una idea intuitiva de colectores, y es posible ver cómo sus ideas evolucionaron en la noción moderna. Parece que Riemann "Mannigfaltigkeit" había un elemento de "lo sé cuando lo veo". Del mismo modo, Poincaré no disponer de una moderna definición de colector en el Análisis Situs. La moderna definición de un buen colector como un localmente-espacio Euclidiano no fue introducido hasta 1912 por Hermann Weyl. Incluso entonces, no estaba claro hasta el Whitney demostrado el teorema de la incrustación de que el valor intrínseco de la definición es equivalente a la de submanifolds de espacio Euclidiano.

Que todavía no es el final de la historia. Si uno intenta definir la definición, uno se da cuenta de que hay al menos tres distintas categorías de colectores; suave, pieza de sabios lineal, y topológica de los colectores. El hecho de que estos tipos no son equivalentes da lugar a una gran cantidad de investigación que aún continúa hoy en día.

Answer 4

En la teoría de conjuntos, definitivamente la noción de un Woodin cardenal.

En primer lugar, no es totalmente clara noción de adivinar. Grandes cardenales se hasta que punto se define como puntos críticos de ciertas primaria incrustaciones. Este no es el caso aquí: Woodin cardenales no necesita ser medibles. Si $\kappa$ es Woodin, a continuación, $V_\kappa$ es un modelo de la teoría de conjuntos, donde hay una clase adecuada de fuerte cardenales. Woodinness requiere más, es decir, que estas fuertes incrustaciones de mover algunos de los predicados correctamente.

Segundo, la definición resultó para identificar un punto de inflexión en el interior del modelo de teoría: de las nociones más débil que Woodinness, la correspondiente canónica interior de los modelos de llevar a $\mathbf\Delta^1_3$ bien ordenamientos de los reales. Esto no es cierto, una vez que hemos Woodin cardenales. Esto está estrechamente ligada a la complejidad del proceso de comparación: dados dos modelos que se parecen a segmentos inicial de la canónica interior de los modelos, lo difícil es comparar a decir que uno tiene más información? Para las nociones más débil que Woodinness, este proceso se lleva a cabo esencialmente lineal de la moda: los desacuerdos entre los modelos son presenciadas por algunas medidas, y en repetidas ocasiones el uso de estos menos medidas para formar ultrapowers, finalmente, las líneas de los modelos: Uno de la iteración termina como un segmento inicial de la otra, y lo que es más largo que viene a partir del modelo que originalmente tiene más información.Con Woodin cardenales y más allá de este proceso no es suficiente. En su lugar, las comparaciones a veces es necesario volver sobre los pasos, y en lugar de un lineales iteración, al final tenemos las estructuras en árbol. La identificación de estas diferencias cruciales que nos permitió desarrollar interior del modelo de la teoría más allá de este punto. Esto a su vez ha llevado a que muchos de los resultados y la identificación de conexiones profundas entre los grandes cardenales y descriptivo de la teoría de conjuntos. Literalmente, gracias a la presencia de Woodin cardenales, el conjunto teórico paisaje creció y se transformó significativamente.

Tercero, Woodinness también resulta ser la noción necesarios para llevar a cabo ciertas obligando a las construcciones. Un poco de coherencia de los resultados que no se esperaban ahora se puede establecer, gracias a la identificación de realmente nuevo obligando a la noción de que el uso de la Woodin cardenales en una forma esencial. Otras construcciones que eran conocidas desde grandes a los cardenales han mejorado su forma óptima.

La historia de cómo la noción de Woodinness fue identificado es en realidad bastante bueno. Kunen había utilizado enorme cardenales para probar la consistencia de la existencia de grasas saturadas ideales en $\omega_1$. Las incrustaciones de presenciar hugeness terminan de levantar a los genéricos de incrustaciones testigos de saturación en el adecuado forzar la prórroga. En 1984, el Capataz, Magidor y Sela identificado una completamente nueva forma de encontrar modelos con saturada ideales. Su construcción se mejoró el gran cardenal noción necesaria de hugeness a supercompactness. Lo significativo es que el genérico de la incrustación ya no es un levantamiento de un antiguo genuino de la incrustación. De hecho, su construcción conserva $\omega_1$. Como consecuencia de sus resultados, en Mayo del mismo año, Woodin mostró que supercompactness implica que todos los conjuntos proyectivos de reales son Lebesgue medibles (y más). Las conversaciones entre el Sela y Woodin condujo rápidamente a la conclusión de que mucho más débil que los cardenales de supercompact bastado para este resultado. A través de una serie de mejoras, las nociones de lo que ahora llamamos Sela y Woodin cardenales fueron identificados, siendo este último, precisamente, el derecho de la fuerza: todo esto sucedió mientras los avances en la determinación e interior del modelo de la teoría mostró las profundas conexiones entre estos campos, y el papel fundamental que Woodin cardenales jugado en esta conexión. Todo esto sucedió muy rápidamente: en el momento en el Sela-Woodin papel aparecido en la prensa, la importancia de Woodin cardenales ya era reconocido.

MR1074499 (92m:03087). Sela, Saharon; Woodin, Hugh. Grandes cardenales implica que cada razonablemente definibles por el conjunto de los reales es Lebesgue medible. Israel J. Math. 70 (1990), no. 3, 381-394.

Answer 5

Me gustaría nominar a la definición de la teoría de la probabilidad en términos de teoría de la medida, donde una probabilidad de que el espacio es un resumen medir el espacio, un evento es un subconjunto medible, una variable aleatoria es una función medible, y la expectativa es la integral de Lebesgue. Este es generalmente acreditado en 1933 papel mediante la prueba de Kolmogorov, aunque parece que muchas de las ideas que previamente había sido de alrededor. Aquí es muy interesante la encuesta por Shafer y Vovk, titulado "Los orígenes y el legado de la prueba de Kolmogorov del Grundbegriffe."

La gente había estado pensando acerca de la probabilidad para un largo tiempo antes de que, pero estas definiciones hizo posible colocar todo en un riguroso equilibrio y aprovechar muchos de los principales resultados de la teoría de la medida. Shafer y Vovk digo que tomó la probabilidad de un matemático "pasatiempo" para convertirse en un respetado rama de la matemática pura.

(No soy experto historiador, así que por favor siéntase libre de edición con correcciones, más de fondo, además de la discusión, etc.)