El artículo de Atiyah de mayo de 2018 sobre la 6ª esfera

Question

Hace un par de años Atiyah publicado una supuesta prueba de que $S^6$ no tiene una estructura compleja. He escuchado murmullos y rumores de que hay problemas con el argumento, pero hace un par de meses aparentemente publicado un seguimiento que amplía los detalles. Escribe:

Sur [1] He dado una prueba de la antigua conjetura de que la esfera de 6 dimensiones no tiene estructura compleja. En este artículo presentaré la prueba de forma más transparente. Utilizo el ejemplo de la esfera de 6 dimensiones para arrojar nueva luz sobre muchos problemas de la física. En el futuro espero que estas ideas proporcionen una perspectiva diferente, con beneficios sustanciales en todas las áreas.

Por desgracia, no puedo encontrar una versión del nuevo documento frente a un muro de pago, e incluso si pudiera me preguntaría si ha abordado alguno de los posibles problemas existentes con el original. ¿Alguien tiene más información (o al menos referencias)?

Answer 1

Como la pregunta lleva un tiempo "colgada", creo que tiene sentido dar un resumen del argumento de Atiyah en el documento. Hay que tener en cuenta que el documento es corto (página 1 de introducción, página 5-6 de referencia y trabajo posterior). Los principales argumentos del documento están en las páginas 2-4.

(página 2)

• Primero introdujo la "esfera conforme", que supongo que Atiyah quería decir $\mathbb{S}^{6}$ como colector conformado con una métrica conforme.
• La esfera conforme "estándar $S(\infty)$ en el espacio 8 de Minkowski $M=(x,y,t)$ puede verse entonces como el límite de las esferas más pequeñas $S(c)$ donde la ecuación $$|x|^2+|y|^2=c^2 t^2, x\in \mathbb{R}^{4}, y\in \mathbb{R}^{3}, c\in \mathbb{R}^{+}$$
• La esfera conforme no tiene una métrica de Riemann pero tiene una estructura conforme inducida de $S(c)$ con métrica hiperbólica (heredada de $M$ ?).
• Atiyah definió una noción natural que definió como "Natural significa siempre compatible con el grupo de simetría apropiado, que aquí es el grupo de Lorentz de los automorfismos del espacio de Minkowski". En particular, aquí $S(\infty)$ heredan la acción de $SO(1,7)$ en lugar de $SO(8)$ . Entonces Atiyah sugiere que esta es la principal fuente de "confusión" que quería disipar.

(página 3)

• Atiyah sugirió utilizar el isomorfismo que implica el cociente de grupos de Lie para la esfera conforme: $$ \mathbb{S}^{6}\cong \textrm{Spin}^{+}(7,1)/(\mathbb{Z}/2\times \textrm{Spin}(6)) $$

• El $\mathbb{Z}/2$ actúa intercambiando $(x, t)\rightarrow (-x,-t)$ . En particular, dos puntos cualesquiera de $\mathbb{S}^{6}$ puede transformarse en "par antipodal estándar" $(e,0), (-e,0), e\in \mathbb{R}^{3}$ . (No estoy seguro de cómo demostrarlo)

• Atiyah cita una versión del teorema del índice que Bott demostró para haces vectoriales homogéneos . Si no recuerdo mal, se trata de un trabajo independiente de Bott realizado cuando intentaba verificar el teorema del índice. Así que se puede considerar como un caso especial del teorema del índice. Sin embargo, no está del todo claro lo que quería decir exactamente aquí.

• Atiyah entonces reclama el índice en el anillo de representación para la ronda $6$ -esfera aterriza en $R(\textrm{Spin}(7))$ . En el caso de la esfera conformada, se sitúa en $R(\mathbb{Z}/2\times \textrm{Spin}(6))$ . (supongo) por un argumento de deformación Atiyah reduce entonces el caso a $\Gamma=\mathbb{Q}_{8}$ el grupo de cuartos de orden 8.

• Se señala que el teorema del índice sólo necesita una estructura casi compleja (correcto). A continuación, Atiyah afirma en negrita que " $\Gamma$ actúa sobre la esfera conforme $\mathbb{S}^{6}$ sin invocar ninguna simetría adicional ". Esto no lo entiendo realmente. ¿Quiere decir que ninguna otra estructura de grupo en la identificación $$ \mathbb{S}^{6}\cong \textrm{Spin}^{+}(7,1)/(\mathbb{Z}/2\times \textrm{Spin}(6)) $$ se utiliza realmente???

(página 4)

• Atiyah sugiere que este "hecho" está relacionado con el teorema CPT. Además, la presencia de $\Gamma=\mathbb{Q}_{8}$ puede entenderse desde el punto de vista de las conjugaciones complejas: Tenemos $$ 0\rightarrow \mathbb{Z}/2\rightarrow \Gamma\rightarrow \mathbb{Z}/2\times \mathbb{Z}/2\rightarrow 0 $$ Y la primera $\mathbb{Z}/2$ puede interpretarse como una conjugación en $\mathbb{C}^{3}$ conservando la conjugación.

• Se señala que el índice sería igual a $(-1)^{F}$ que es un invariante topológico. Para el espacio de Minkowski sería impar. (No estoy seguro de la relevancia de esto...).

(La prueba que se reclama)

1. Supongamos que existe una hipotética estructura compleja en la esfera conforme $\mathbb{S}^{6}=S(\infty)$ que consideraba el límite de $S(c)$ con métrica hiperbólica. Nótese que esta esfera es homeomorfa a la esfera redonda estándar.
2. Aplicar el $\Gamma$ -versión equivariante del teorema a $\mathbb{S}^{6}$ con la estructura compleja. Dado que la extensión central $\mathbb{Z}/2$ actúa por conjugación compleja , es una representación abeliana (significa una representación de $V$ ). Sin embargo, no estoy seguro de por qué el hecho $\mathbb{S}^{6}$ tener la hipotética estructura compleja significa la primera $\mathbb{Z}/2$ la acción es trivial para la representación.

3. Como el teorema no depende de la métrica, con la elección de la métrica redonda en $\mathbb{S}^{6}$ el índice se convierte en un elemento del anillo de representación de $\Gamma$ . Pero entonces $\Gamma$ actúa libremente sobre la esfera redonda, por lo que su índice es la representación regular de $\Gamma$ que no es abeliano. En particular, no puede identificarse con una representación de $V$ .

La parte crucial de este documento que queda sin tratar (para mí) son:

1. Cómo la existencia de la estructura compleja en $\mathbb{S}^{6}$ ¿"forzó" a tener un índice abeliano al utilizar (la versión equivariante) del teorema del índice?

2. Independientemente de (1), ¿asume Atiyah implícitamente la estructura compleja en $\mathbb{S}^{6}$ tiene que ser "compatible" con su estructura como espacio homogéneo? En palabras de orden, ¿cómo es la reducción de $\mathbb{Z}/2\times Spin(6)$ a $\Gamma$ ¿relacionado con la estructura compleja dada por (supuestamente alguna métrica extraña)? ¿Qué pasaría si no fuera así?

3. Supongamos que (1) y (2) se abordan. Ahora por qué una estructura casi compleja en $\mathbb{S}^{6}$ sería incompatible con las afirmaciones de (1) y (2)? En otras palabras, ¿qué diferencia $i$ de $J$ con el fin de $\mathbb{Z}/2$ acciones, aparte del hecho de que la extensión central dentro de $\Gamma$ ¿puede identificarse con la conjugación compleja? No parece que Atiyah haya utilizado teoremas como el de Nirenberg-Newlander de forma significativa.

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Me parece que lo que Atiyah afirma realmente es que una "clase especial de métrica" en la esfera conforme $\mathbb{S}^{6}$ no puede darle una estructura suficientemente compleja con respecto a la estructura del espacio homogéneo existente. Sería interesante comprobar si la estructura casi compleja en $\mathbb{S}^{6}$ es compatible con la acción de $\Gamma$ , por ejemplo. Si no, sospecho que puede haber un error aritmético en alguna parte de la prueba.