¿Qué tan profundo es el líquido en un hemisferio medio lleno?

Question

Tengo una bandeja de horno receta que requiere para 1/2 cucharadita de extracto de vainilla, pero sólo tengo una 1 cucharadita de cuchara de medición disponibles, ya que el lavavajillas está en funcionamiento. La cuchara de medición es casi un hemisferio perfecto.

Mi pregunta es, a qué profundidad (como porcentaje del hemisferio de radio) debo llenar mi cucharadita de vainilla con tal que contiene, precisamente, 1/2 cucharadita de vainilla? Debido a la forma, que, obviamente, tiene que llenar más de la mitad de camino, pero ¿cuánto más?

(Casi me publicado en el foro de Cocina, pero tengo la sensación de que la respuesta va a involucrar más a las matemáticas conocimiento de bicarbonato de conocimiento.)

Answer 1

Suponiendo que la cuchara es un hemisferio con el radio de $R$,

deje $x$ estar a la altura de la parte inferior de la cuchara, y deje $h$ rango de $0$ a $x$.

El radio de $r$ de la circunferencia a la altura de la $h$ satisface $r^2=R^2-(R-h)^2=2hR-h^2$.

El volumen de líquido en la cuchara cuando se llena a la altura de la $x$ es $$\int_0^x\pi r^2 dh=\int_0^x\pi(2hR-h^2)dh=\pi Rh^2-\frac13\pi h^3\mid_0^x=\pi Rx^2-\frac13\pi x^3.$$

(Como un cheque, cuando la cuchara está lleno, $x=R$ y el volumen es $\frac23\pi R^3,$ que de un hemisferio.)

La cuchara es la mitad cuando $\pi Rx^2-\frac13\pi x^3=\frac13\pi R^3;$ es decir, $3Rx^2-x^3=R^3;$

es decir, $a^3-3a^2+1=0$, donde $a=x/R$.

La única físicamente significativa de la solución de esta ecuación cúbica es $a\approx 65\%.$

Answer 2

En realidad, hay una solución analítica al problema, como se muestra a continuación.

El volumen de un casquete esférico es la diferencia entre aquellos de la superposición de dos conos, uno con una esfera inferior y el otro con un fondo plano, es decir,

$$V = \frac{2\pi}{3}r^2h - \frac{\pi}{3}(2rh-h^2)(r-h) =\frac{\pi}{3}(3rh^2-h^3)$$

Set $V$ a la mitad de la semisphere volumen $\frac{2\pi}{3}r^3$ a obtener,

$$\left(\frac rh \right)^3 - 3\frac rh+1=0$$

Comparar con la identidad de $4\cos^3 x -3\cos x -\cos 3x=0$ y deje $r/h = 2\cos x$ obtener $x=40^\circ$.

Por lo tanto, la profundidad de $h$ como una fracción de la radio de $r$ Es

$$\frac hr = \frac{1}{2\cos40^\circ}$$

Answer 3

Esto hace las cosas un poco más sencillo si nos alejamos de su cuchara al revés, y el modelo es como el conjunto de puntos de $\{(x,y,z):x^2+y^2+z^2=1, z\ge 0\}$. El área de una sección transversal a la altura de la $z$ luego $\pi(1-z^2)$, por lo que el volumen de la cuchara entre los planos $z=0$ e $z=h$ es

$$\pi\int_0^h(1-z^2)dz = \pi\left(h-\frac13h^3\right)$$

El volumen de la semiesfera es $\frac23\pi$, y queremos que la integral sea igual a la mitad de este, es decir, $$\pi\left(h-\frac13h^3\right)=\frac{\pi}{3}$$ o $$h^3-3h+1=0$$ Este cúbicos ecuación no factorizar muy bien, así que pregunte a Wolfram Alpha de lo que se piensa. La correspondiente raíz es $h\approx 0.34730$. Recuerde que doblar la cuchara al revés, así que usted debe llenar a una altura de $1-h=0.65270$o $65.27\%$.

Answer 4

Sin pérdida de generalidad podemos suponer que la radio de la esfera a se $1$

El volumen del líquido se encuentra por una parte integral $$V= \int _{-1}^{-1+h} \pi (1-y^2 )dy$$

y desea que el volumen del líquido a la mitad del hemisferio que es $\pi/3$

Después de la evaluación de la integral y la resolución de la ecuación he encontrado $$h=0.65270365$$ Que es un poco más de la mitad de lo esperado.

Answer 5

Alternativa: use dos cucharaditas.

Usa agua a medida que desarrolles tu habilidad. Llene la cucharadita A y vierta en la cucharadita B hasta que el contenido parezca igual. Cada uno ahora contiene media cucharadita. Y ahora sabes cómo se ve media cucharadita en la práctica.

Y no tiene que calcular cosenos contra hardware del tamaño de un pulgar.