Hay un nombre para este anillo como objeto?

Question

Deje $S$ ser un grupo abelian en virtud de una operación que se denota por a $+$. Supongamos, además, que $S$ es cerrado bajo una conmutativa, asociativa, la ley de la multiplicación que se denota por a $\cdot$. Decir que $\cdot$ distribuye más de $+$ en la forma habitual. Por último, para cada $s\in S$, supongamos que existe algún elemento $t$, no necesariamente único, de tal manera que $s\cdot t=s$.

Esencialmente, $S$ es un paso desde que se separó de un anillo; el único problema es que la multiplicación de la identidad no es única. Aquí es un ejemplo.

Deje $S=\{\text{Continuous functions} f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} \ \text{with compact support}\}$ con la suma y la multiplicación se define pointwise. Es claro que este es un grupo abelian con la necesaria ley de la multiplicación. Ahora, vamos a $f\in S$ ser admitidos en $[a,b]$. Deje $S'\subset S$ el conjunto de funciones continuas de manera compacta, apoyado en los intervalos que contengan $[a,b]$ que son idénticamente 1 en $[a,b]$. Claramente, si $g\in S'$, $f\cdot g=f$ todos los $x$. Además, no existe una única identidad multiplicativa en esta colección, ya que la función constante 1 no es de forma compacta compatible.

He observado que este ejemplo es de un aumento de la unión de los anillos, pero no sé si esto es válido para cada conjunto con la propiedad de que he definido.

Answer 1

Su ejemplo es un generador de números aleatorios con un aproximado de identidad.

Answer 2

Yo sólo quería tirar la más evidente y la amplia clase de los ejemplos que ha pasado no tan lejano: von Neumann regular generadores de números aleatorios.

Un anillo (posiblemente sin identidad) es llamado von Neumann regular si para cada a $a$ en el anillo existe $x$ en el anillo tal que $axa=a$. Estos anillos tienen la "identidad local" de la propiedad que se describe (en ambos lados, de hecho, aunque sin conmutatividad de la identidad local podría no ser el mismo en ambos lados :) ).

Una cosa que me parece particularmente interesante sobre el VNR de los anillos es que parece que analistas funcionales tienen muy natural utiliza para el VNR de los anillos sin identidad...

Answer 3

Este es un pseudo-anillo, o un generador de números aleatorios, o anillo-sin-unidad. El artículo vinculado, de hecho, en realidad se cita el ejemplo de funciones con soporte compacto. El hecho de que usted tiene por elemento elemento neutral probablemente no es lo suficientemente útil para dar un nombre especial para pseudo-anillos con esta propiedad adicional.