Para varias hermosas y las discusiones de los expertos de los contrastes y de las relaciones entre lo clásico y la evolución de los sujetos de resumen o la moderna geometría algebraica, te recomiendo el siguiente ICM conferencias:
O. Zariski, 1950, vol.2, p.77 ff;
B. Segre, 1954, vol.3, pág.497ff;
J. P. Serre, 1954, vol.3, pág.515ff;
A. Weil, 1954, vol.3, pág.550ff;
A. Grothendieck, 1958, pág.103.
(Este cae, obviamente, bajo el título "la lectura de los maestros".)
De hecho la totalidad de la geometría algebraica sesión, 1954, vol.3, pp 445-560, tiene una increíble lista de charlas cortas, (Groebner, Hirzebruch, Kodaira, Nerón, Rosenlicht, Van der Waerden,...).
el enlace es: http://www.mathunion.org/ICM/
Mis disculpas por tan breve respuesta.
El artículo de Zariski, LAS IDEAS FUNDAMENTALES DE ABSTRACTO de la GEOMETRÍA ALGEBRAICA, señala los avances en la conmutativa algbra motivado por la necesidad de fundamentar los resultados en la geometría. "En los últimos 25 años han sido testigos de un cambio notable en el campo de la geometría algebraica, un cambio debido al impacto de las ideas y métodos del álgebra moderna. Lo que ha ocurrido es que esta antigua y venerable sector de la geometría pura sufrió (y sigue sufriendo) un proceso de arithmetization. Esta nueva tendencia ha causado consternación en algunos sectores. Fue criticado como una deserción de la geometría o como una subordinación del descubrimiento de rigor. Sostengo que esta crítica es injustificada y surge a partir de algunos
el malentendido de que el objeto de la moderna geometría algebraica. Este objeto no es
para desterrar la geometría o la intuición geométrica, pero para equipar el aparejador con el
más nítida posible de las herramientas y controles efectivos."
Que por Segre argumenta a favor de la preservación de la intuición geométrica en la geometría algebraica por esta razón, para motivar y sugerir nuevas preguntas para investigar. Parece especialmente elocuente y apasionado como argumenta a favor de una tradición que parece amenazado con ser perdido.
LA GEOMETRÍA DE UNA VARIEDAD ALGEBRAICA
BENIAMINO SEGRE
I. la geometría Algebraica, es decir, la rama de la geometría que
se ocupa de las propiedades de las entidades representadas por ecuaciones algebraicas - ha en
los últimos años se desarrolló en dos direcciones diferentes, que en un sentido son los que se oponen
a la una de la otra. Una de estas direcciones se denomina abstracto en la medida en que es
de que se trate con ecuaciones algebraicas definidas sobre conmutativa campos sujetos
sólo ligeras restricciones; aquí los medios empleados son puramente algebraica,
incluyendo en particular el ideal de la teoría y de la teoría de la valoración. La otra dirección
puede correctamente ser llamado geométrica) esto normalmente lo hace con ecuaciones algebraicas
en el complejo de dominio, y de vez en cuando apela a las ideas y métodos de
analítica y proyectiva, geometría, topología, la teoría de funciones analíticas
y de formas diferenciales.
El dualismo entre estas dos disciplinas tiene una estrecha relación y affi-
nidad con la que, hace tres siglos, surgió entre l'esprit géométrique de
Descartes y l'esprit de finesse de Pascal, y que, en el siglo pasado, en
una parte dividida de los geómetras a los analistas de la escuela de Plücker y
synthesists de la escuela de Steiner y, por el otro, la algebraists en
los puristas a la Dedekind y arithmetizers a la de Kronecker. Sin embargo, este dualismo,
en vez de probar perjudicial para la geometría, ofrece indudables ventajas a la hora de
las dos líneas de desarrollo, con sus respectivos méritos y posibilidades, son
considerada como contraste, sino como complementarios.
No podemos dejar de reconocer en el método abstracto y su técnica de un
peculiar elegancia, una impecable coherencia lógica, y a valorar la im-
portance de los resultados obtenidos hasta ahora por ella, particularmente en el estudio de la
fundamentos de la geometría y de las difíciles preguntas relativas a las singularidades
de variedades algebraicas. Pero igualmente no podemos dejar de reconocer que la geometr'-
ical enfoque, con su mayor concreción, se presta mejor a la fórmula-
ción y estudio inicial de los nuevos conceptos y problemas; y que presenta una
incomparable riqueza y el color de su propio, debido a la combinación de muchos
diversas ramas, a la sutil y vâzıhı juego de la intuición geométrica,
y a la posibilidad de fácilmente la construcción de ejemplos y la investigación de especial
de los casos. También podemos señalar que, en el geométrica de la disciplina, correspondiente
para una más definida noción de variedad algebraica, hay una gama mucho más amplia de
sujetos y un número mucho mayor de orientaciones y de los contactos con otros
importante ramas de las matemáticas, que han encontrado, y están encontrando,
en ella la inspiración y las extensiones más allá de lo puramente algebraica de campo.
Weil artículo describe cómo la aritmética de los beneficios de la algebraization de la geometría.
RESUMEN FRENTE A LA CLÁSICA GEOMETRÍA ALGEBRAICA
ANDRé WEIL
La palabra "clásico", en matemáticas, así como en la música, la literatura o la
la mayoría de las otras ramas de la actividad humana, puede ser tomado en un sentido cronológico;
esto significa, entonces, cualquier cosa que precede a todo lo que uno elige a considerar como
"moderno", y puede ser utilizado para describir remota antigüedad o los logros
de antaño, de acuerdo con el estado de ánimo y la edad del hablante. A veces, también,
es puramente laudatorios y se aplica a cualquier pieza de trabajo que está pensado para ser
de valor permanente.
Aquí, sin embargo, mientras que hablar de la geometría algebraica, quiero usar las palabras
"clásica" y "abstracto" en estricto sentido técnico, que será explicado
en la actualidad. Hasta no hace mucho algebraica de los geómetras hizo su trabajo exclusivamente
con referencia al campo de los números complejos; al mismo tiempo que trabajaron
en la no-singular modelos, o en cualquier caso su preocupación con varios puntos en los que se
simplemente con el fin de tratar de empujar fuera del camino adecuado birational trans-
formaciones. Así trascendental y topológica de herramientas de diversos tipos fueron
disponible, y se trata simplemente de una cuestión de gusto personal, inclinación personal o
la conveniencia de si usar o no en cualquier ocasión. La mayoría de las deci-
sive progreso que se ha hecho en la teoría de las curvas algebraicas fue alcanzado por
Riemann precisamente por la introducción de estos métodos. Más tarde, los autores tomaron en cuenta-
capaz de dolores para obtener los mismos resultados por otros medios. Al hacerlo, ellos fueron
motivado, al menos en parte, por el hecho de que Riemann había dado ninguna justificación
para Dirichlet del principio y de la que tomó muchos años para encontrar uno. Del mismo modo, el
el uso de métodos topológicos por Poincaré y Picard, por no mencionar algunos de los más
escritores recientes, a menudo ha sido tal como para justificar dudas acerca de la validez de sus
las pruebas, mientras que por el contrario ha sucedido que los teoremas que había sido simplemente
hace plausible por los llamados geométrico razonamiento fueron puestos fuera de toda duda
por el trascendental de la teoría.
Ahora hemos progresado más allá de esa etapa. Rigor ha dejado de ser el pensamiento
de como un complicado estilo de vestido formal que uno tiene que llevar en estado ocasiones
y descartes con un suspiro de alivio, tan pronto como llegue a casa. No pedimos ningún
más si un teorema ha sido rigurosamente probado, pero si ha sido
demostró. Al mismo tiempo hemos adquirido las técnicas que nuestros prede-
cessors ideas y nuestra propia puede ser expandida en pruebas tan pronto como hayan
alcanzado el grado de madurez; no importa si tales ideas son
según la topología o el análisis, en el álgebra o la geometría, hay poca excusa
para la presentación incompleta o sin terminar formulario.
Entonces, ¿cuál es el verdadero alcance de los diversos métodos que hemos aprendido
para manejar en la geometría algebraica? La respuesta es bastante obvio. Vamos a llamar
"clásica" de aquellos métodos que, por su propia naturaleza, dependen de la pro-
perties de la real y del número complejo-campos; tales métodos pueden ser
derivado de la topología, del cálculo, de la serie convergente, ecuaciones diferenciales parciales
o analítica de la función de la teoría. Como ejemplos, se puede citar el uso de la diferen-
ential de cálculo en la prueba de la Kronecker-Castelnuovo teorema, de theta
funciones en la teoría de curvas elípticas y abelian variedades, de la topología en la
la prueba de que el "principio de la degeneración". Vamos a llamar "abstracto" los métodos de
que, siendo básicamente algebraicas, son esencialmente aplicables a la tierra-
los campos; esto incluye, por ejemplo, la teoría de los diferenciales de la primera, segunda
y el tercer tipo (pero por supuesto no el de sus integrales) y la mayor parte de
la "geométrica" pruebas de la escuela italiana. Así está claro que, en todos los casos
donde un resumen de la prueba está disponible, se puede esperar que el rendimiento más que
cualquier clásico de la prueba para obtener el mismo resultado. Nadie puede negar esto a menos que él había
hecho su mente para ignorar los campos de la no-cero característica y se preparó
para mantener un teorema de la geometría algebraica, la cual ha sido demostrado para la
campo de los números complejos siempre se puede ampliar a cualquier campo de característica 0.
De hecho hay muchos casos en los que esto es así; muy a menudo, sin embargo, la exten-
sion sólo se puede hacer a algebraicamente cerrado campos. Como la negación de la existencia de cualquier
a la geometría algebraica de la no-cero característica, no sólo sería este, en
vista de los acontecimientos recientes, la cantidad de la negación de la moción; también sería privar a
la geometría algebraica de un rico y prometedor campo de posibles aplicaciones
número de la teoría, donde uno no puede prescindir de reducción de módulo p.
Serre y Grothendieck describir la contribución de cohomology.
No puedo dar buena cuenta de este material en un par de palabras, pero tengo la fuerte defensor de la lectura de estos artículos que marcó la introducción de métodos abstractos en la geometría algebraica en sus más fructífera.
