He aquí un mapa aproximado utilizando los principios de la inducción. Nuestro objetivo es demostrar que $|S_{r+2}|-|S_r|\approx 6r^2+12r+8$ . Tomamos el área del anillo, que es $\pi(r+2)^2-\pi r^2=\pi(4r+4)$ . Afirmamos que el número de puntos de la red dentro de esta región es, por tanto, de aproximadamente $\pi(4r+4)$ y utilizando números triangulares, el número de líneas reales es aproximadamente $\pi^2(4r+4)(4r+5)/2$ y eliminamos un factor de $\zeta(2)$ para permitir la condición de coprimalidad, dejando $3(4r+4)(4r+5)=3(16r^2+36r+20)$ que no es una mala aproximación al $6r^2+12r+8$ que requerimos.
![double ring]()
La estructura de doble anillo proviene de la introducción de un nuevo anillo. Obtenemos ambos (nuevo anillo $\to$ nuevo anillo) y (nuevo anillo $\to$ anillo anterior) entradas. La rarificación del anillo anterior conduce al suavizado final del polinomio, por lo que ahora sólo hay que escalar los factores implicados.
Escribí un poco de JavaScript para probar esto:
<!DOCTYPE html>
<html>
<body>
<span id='s'></span>
</body>
<script>
function dist(x,y) {
return Math.sqrt((x[0]-y[0])*(x[0]-y[0])+(x[1]-y[1])*(x[1]-y[1]));
}
function gcd(a,b) {
var x,y;
x=Math.abs(a[0]-b[0]);
y=Math.abs(a[1]-b[1]);
if ((x==0 && y>1) || (x>1 && y==0)) return 0;
var g,mx=1;
for (g=2;g<=Math.max(x,y)/2;g++) if (x%g==0 && y%g==0) mx=g;
return mx;
}
for (d=0;d<=25;d++) {
c=0;
for (i=-d;i<=d;i++)
for (j=-d;j<=d;j++)
for (a=-d;a<=d;a++)
for (b=-d;b<=d;b++) {
if (a<i) continue;
if (a==i && b<=j) continue;
if (dist([i,j],[0,0])<=d && dist([a,b],[0,0])<=d && (i!=a || j!=b) && Math.abs(dist([i,j],[0,0])-dist([a,b],[0,0]))<1 && gcd([i,j],[a,b])==1) c++;
//if (d==2) console.log([i,j]+'..'+[a,b]);}
}
console.log(c+'..'+Math.pow(2*d,3));
}
</script>
</html>
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¿Tiene alguna razón para pensar que debería haberla?
11 votos
@Greg Martin 1) Existen evaluaciones razonablemente elementales de $\zeta(2)$ (no hay análisis de Fourier, no hay integración de contornos, etc.), así que tal vez sea posible deshacer uno de ellos. 2) Cualquier combinador que se encuentre con una identidad combinatoria se pregunta naturalmente si existe una prueba biyectiva - no conozco ningún candidato serio para hechos combinatorios naturales sin pruebas naturales.
4 votos
Una pregunta interesante. ¿Puede explicar un poco el cálculo? Veo varios inicios, pero no un camino claro.
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Interesante pregunta, ¿se generaliza esto a $\zeta(2k)$ ?
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De forma aproximada (y no rigurosa), cada par $A,B$ contiene un primer punto que se lee en el sentido de las agujas del reloj, digamos $A$ . La condición $|\,||A||||B||\,|<1$ en $B$ en ${\Bbb R^2}$ localiza $B$ en un medio anular de área alrededor de $2\pi||A||$ . Este semianillo contiene un número de puntos de red aproximadamente igual a su área, y de ellos, aproximadamente $1/\zeta(2)$ satisfacer $AB$ . Ahora haz una integral doble para las posibles ubicaciones de $A$ primero por norma y luego por ángulo. La proporción de puntos en los que $AB$ puede no comportarse así en una región delgada, pero una cierta integración por partes hace que todo sea legal.
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@Greg Martin ¿Por qué no empiezas con una pregunta más sencilla sobre (la misma) densidad de poits primitivos (poits con coordenadas enteras coprimas)?
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Teniendo en cuenta que esto proporcionaría esencialmente una interpretación geométrica del problema de Basilea, la siguiente prueba quizás podría transformarse en lo que buscas: math.chalmers.se/~wastlund/Cosmic.pdf . Sin embargo, no estoy muy seguro.
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La misma pregunta (del título del post original) se hace y se responde aquí: mathoverflow.net/questions/9465/