¿Cuál es la explicación de alto concepto sobre por qué los números reales son útiles en la teoría de números?

Question

La utopía de la situación en matemáticas sería que la instrucción y la prueba de cada resultado en vivo "en el mismo mundo", en el mismo nivel de matemáticas de la complejidad (en sentido amplio), a menos que existiera una buena conceptual motivo por el contrario. La situación típica es una prueba en combinatoria finita para ser probado puramente en el ámbito de lo finito combinatoria, una declaración acerca de los números enteros para ser probado utilizando sólo los racionales (tal vez junto con algunos formal de símbolos tales como las $\sqrt {2}$ e $\sqrt{-1}$), y así sucesivamente. Cuando la situación típica se rompe, la razón podría ser conocida y celebrada.

El prototipo de campo donde las cosas no parecen funcionar de esta manera es la Teoría de números. Kronecker famosamente declaró que "Dios inventó los números enteros; todo lo demás es obra del hombre."; y, sin embargo, los números reales (a menudo en la forma de análisis complejo) están omnipresentes en todas partes de la Teoría de números.

Estoy seguro de que esta pregunta es irremediablemente ingenua y estándar, pero:

1. ¿Qué es el alto concepto de explicación de por qué los números reales son útiles en la teoría de los números?
2. ¿Qué es el "ejemplo mínimo" de una declaración en la teoría de números, para cuya "lo mejor posible" prueba de la introducción de los números reales es obviamente útil?

Una forma alternativa de encuadrar la cuestión sería preguntarse cómo se podría refutar la hipotética siguiente argumento:

"Sabemos que el cálculo funciona bien, así que estamos tentados de aplicar a cualquier cosa y todo. Pero quizás es en el hecho de que la herramienta equivocada para la Teoría de números. Tal vez existe un racional-número enfoque basado en la Teoría de números, esperando a ser descubierto, cuyo descubridor va a ganar una Medalla Fields, que reemplazará a todas las herramientas de análisis en la Teoría de los números con dicrete herramientas."

(Esta pregunta es un subproducto de una discusión que tuvimos hoy en Dror Bar-Natan del LazyKnots seminario).

Actualización: (REESCRITO) ha habido una cierta discusión en los comentarios acerca de si las pruebas y declaraciones que viven en el mismo territorio es "utópico". La idea filosófica que subyace a esta pregunta es que, en mi opinión, la parte de las matemáticas para entender las pruebas, incluyendo la comprensión de cuales son las herramientas óptimas para una prueba y por qué. Si la prueba es una manipulación formal de las definiciones que se utilizan en la declaración de la reclamación (por ejemplo, la prueba de la serpiente lema), entonces no hay nada que explicar. Si, por otro lado, la prueba hace indispensable el uso de conceptos a partir de más allá del reino de la declaración del teorema (por ejemplo, una prueba de una declaración sobre enteros que utiliza los números reales, o la prueba de la Dualidad de Poincaré para simplicial complejos que utiliza CW complejos), a continuación, debemos entender por qué. No hay otra manera de demostrarlo?Por qué? Sería otra manera de probar que no necesariamente se mueven de torpe? Por qué? O es sólo un accidente de la historia, la primera cosa que el armario de pensamiento de, sin ninguna pretensión de ser una "forma óptima somete a prueba" en algún sentido? Creo, si una prueba de un resultado de enteros esencialmente utiliza las propiedades de los números reales (o complejos), como una prueba de que no iba a funcionar en un formal, de alguna manera análogo de la creación, donde no hay números reales, tales como nudos como equivalentes de los números primos. Por otro, por la comprensión de por qué la herramienta de la prueba es la óptima, estamos aprendiendo algo realmente fundamental acerca de los números enteros.
Estoy interesado, no en "¿cuál sería la forma más rápida de encontrar una primera prueba", sino en "¿cuál sería la manera más intuitiva para entender un fenómeno matemático en retrospectiva". Así que una cosa que me haría feliz sería un resultado para los números enteros, que es "obviamente" una proyección o restricción de algunos fáciles de hecho, para los números reales, y es fácilmente entendido de esa manera, pero sigue siendo un misterio si los números reales y complejos los análisis no se presentó.

Answer 1

El Gödel Speedup Teorema proporciona una explicación de por qué los números reales (y variantes) son útiles en la comprobación de las declaraciones en la teoría de números.

Los números reales, números complejos, y $p$-ádico números son de segundo orden de los objetos sobre los números naturales. Por lo tanto una prueba de un número teórico de hecho, el uso de tales dispositivos analíticos es formalmente una prueba de que el hecho de que en el segundo orden de la aritmética. El Gödel Speedup Teorema muestra que hay una clara ventaja para el uso de segundo orden de la aritmética para demostrar primaria número teórico de los hechos.

Gödel Speedup Teorema. Deje $h$ ser cualquier función computable. Hay una familia infinita $\mathcal{H}$ de primer orden (de hecho,$\Pi^0_2$) declaraciones de tal forma que si $\phi \in \mathcal{H}$,, a continuación, $\phi$ es comprobable en primer orden de la aritmética y la si $k$ es la longitud de la menor prueba de $\phi$, en segundo orden, la aritmética, el más corto de la prueba de $\phi$ en el primer orden de la aritmética tiene una longitud de, al menos,$h(k)$.

Desde funciones computables puede crecer muy rápido, esto muestra que hay cierto número teórico de los hechos que uno puede demostrar que el uso de segundo orden de los métodos (por ejemplo, análisis complejo, $p$-ádico números, etc.) pero ninguna de primer orden (una.k.una. primaria) la prueba es indescriptiblemente de largo. Sin duda, las declaraciones producidas por Gödel para comprobar el teorema son muy artificiales, a partir de un número teórico de punto de vista. Sin embargo, es un hecho general de que el segundo orden de las pruebas puede ser mucho más corto y fácil de entender que los de la primera orden de las pruebas.

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Adenda. Este excelente post por Emil Jeřábek demuestra otra speedup teorema, que es en muchos aspectos más llamativos. El método de ir de un primer orden de $T$ a un segundo orden $T^+$ es conservador, lo que significa que $T^+$ no puede probar más de primer orden teoremas de $T$. Sin embargo, el mero hecho de permitir a los conjuntos de reemplazar las fórmulas y la introducción de la posibilidad de cuantificar los sobre dichos conjuntos introduce mejoras más rápido que cualquier exponencial de la torre. La introducción de $\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$, $\mathbb{Q}_p$ y así sucesivamente tiene un efecto similar, donde uno puede empaquetar complicado ideas conceptualmente más simples (por ejemplo, la sustitución de $\forall\exists$ declaraciones de los más altos a nivel de idea de continuidad) puede conducir a monumentalmente más cortas pruebas!

Answer 2

Una posible explicación es que$\mathbb R$ es una de las terminaciones de$\mathbb Q$. ¿Y por qué importa esto? Una razón es el principio de Hasse o local a global. Un ejemplo mínimo de esto es el teorema de Hasse - Minkowski, que establece que si$$Q(x_1,\ldots,x_n) = \sum_{i,j=1}^n a_{ij} x_ix_j$ $ es una forma cuadrática con$a_{ij} \in \mathbb Z$ y$\det (a_{ij}) \neq 0$, entonces la ecuación$$Q(x_1,\ldots,x_n)=0$ $ tiene una solución no trivial en los enteros si y solo si tiene una solución en los reales y todos los$p$ - adics.

Answer 3

La pregunta parece asumir o, al menos, a simpatizar con algo a lo largo de las líneas de

     God created the integers and the reals are derived therefrom. 

Por el contrario, parece tan plausible que los reales son nuestra base de datos intuitiva. Significado ¿qué?

1. En la historia de la cognición, la medición precede a contar. Por ejemplo, un león puede medir la longitud de su salto más fácilmente de lo que él puede distinguir entre 29 y 39 ñus.

2. Los reales son los únicos Dedekind completa ordenó campo, si "corte" se toma en un conjunto-en teoría ingenua manera. Véase por ejemplo, "la Integridad de la Ordenó Campos" por Sala en arxiv. Los enteros son el único discretamente ordenó sub-anillo de los reales. El principio de inducción para el anillo de enteros (y la singularidad de una sola y única discretamente ordenó sub-anillo de los reales) es una consecuencia de la integridad de los reales: inductivo conjunto de números enteros que perdió algún entero positivo daría lugar a un corte sin límites. La noción de continuum, en otras palabras, puede ser tomado como la gran definición de concepto, y los principales subyacentes a la intuición.

3. La Teoría de los números, o al menos Diophantine Análisis, puede ser entendido como el estudio de las ecuaciones sobre los reales con soluciones restringidas a ciertas subrings. Hace la pregunta "¿cuáles son los reales haciendo en la teoría de los números", a continuación, disolver? Tal vez.

Answer 4

Considera lo siguiente

Teorema. El número de soluciones integrales de$x^2+y^2+z^2=4n+1$ tiende al infinito como$n\to\infty$.

Las únicas pruebas (conocidas por mí) utilizan una gran cantidad de análisis complejos. Pensaré en otros ejemplos a medida que el tiempo lo permita.

Answer 5

Dos de los hechos más básicos de la teoría algebraica de números, es decir, la finitud de la clase número y la estructura de las unidades de los anillos de enteros de los campos de número no parecen ser comprobable sin el uso de números reales (o algún uso de la arquimedianos la naturaleza de los números reales).

Añadido: En realidad, la mayoría de la finitud de los resultados en aritmética geometría parecen utilizar este arquímedes prime; este es el caso de Mordell-Weil teorema, conjetura de Mordell, generación finita de Galois cohomology grupos de número de campos, etc.

Ocurrencias: Hay muchas ramas de la teoría de números y en algunos de ellos que usted no puede incluso el estado de los resultados sin el uso de números reales tal y como se señaló en otra parte. Ahora, en teoría algebraica de números o aritmética geometría, que no sufren de este problema, la analogía con la función de campos es una herramienta bastante potente para tratar de adivinar lo que puede ser cierto, y si se mira el problema desde este ángulo, te das cuenta de que los números reales son más una molestia que una ayuda : todas las declaraciones de arriba puede ser demostrado por la función de los campos donde los números reales no juegan ningún papel, y muchos otros como la hipótesis de Riemann o el mundial de Langlands correspondencia todavía se nos escapan en el campo de número de configuración. El hecho de que usted tiene que utilizarlos para demostrar los resultados anteriores parecen indicar que no se puede ignorar esta molestia tan fácilmente... (a pesar de la fórmula del producto que te hace creer que la información que se puede extraer de la arquímedes primer debe ser legible de los demás).