La vista desde el interior de un tetraedro espejado

Question

Supongamos que estás dentro de un tetraedro regular $T$ cuyo superficies de las caras internas fueran espejos perfectos. Supongamos $T$ es $3{\times}$ tuyo, para que tu ojo esté aproximadamente en el centroide, y que mires perpendicularmente a una cara:

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Mi pregunta es:

Q . ¿Qué es lo que ve? Cualitativamente; o si alguien puede encontrar una imagen, sería revelador.

Hacer la misma pregunta para la vista dentro de un cubo reflejado es más fácil de visualizar: los espejos paralelos de caras cuadradas opuestas producirían a " la casa de los espejos "(en tres direcciones perpendiculares).

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                    (Imagen de este enlace .)

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Anexo 1 ( 21Nov2014 ). Para responder a la (buena) pregunta de Yoav Kallus, he aquí una cita de Manual de sistemas dinámicos Volumen 1, Parte 1. (ed. B. Hasselblatt, A. Katok), 2010, p.194:

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Anexo 2 ( 24 de noviembre de 2014 ). Ahora que tenemos el asombroso POV-ray imágenes, agradecería que alguien intentara describir su $32$ -imagen de reflexión cualitativa. Me parece tan complejo que esto puede ser una instancia en el que mil palabras podrían ser superiores a una imagen.

Answer 1

Aquí hay un par de fotos. Si quieres hacer más, he creado esto con un simple script povray. No dude en enviarme un correo electrónico y se lo enviaré.

Con cuatro reflexiones.

Con 8 niveles de reflejos.

Uno con 24 reflejos.

Y uno con 32 reflejos, y cada espejo con un tinte ligeramente diferente, una esfera roja y un ángulo de visión ligeramente más amplio.

Ésta es la vista desde el interior de un tetraedro reflejado, cerca de uno de los vértices, mirando hacia la cara opuesta. Cerca del centro de cada cara hay un número que indica a qué vértice se opone el triángulo. La secuencia muestra los triángulos cada vez más reflectantes y menos opacos. El campo de visión es de 120 grados, por lo que hay un poco de distorsión de lente en los bordes de la imagen.

Y aquí es el enlace a los scripts para los tetraedros con la numeración y sin las esferas.

Answer 2

Hay un programa de Jeff Weeks, Espacios curvos que permite volar por diversos espacios de este tipo. Incluye un tetraedro espejado pero con $\pi/2$ ángulos diedros. Sin embargo, se pueden construir espacios propios, proporcionando una lista de 4 $\times$ 4 matrices que generan el grupo de transformación (versión linealizada del grupo de transformación).

Instantánea:

(obviamente no es tan inspirador, hay que verlo en movimiento para apreciarlo realmente)

Anexo

Tras varios intentos infructuosos de realizar el tetraedro euclidiano en el programa, me puse en contacto con Jeff Weeks; resultó que, por desgracia, Curved Spaces no puede manejar grupos no compactos.

Jeff también mencionó el caso esférico - tetraedro esférico regular con ángulos diedros $2\pi/5$ cuyos reflejos faciales llenan la célula 600. Se me ocurrió que esta es una situación rara cuando el caso euclidiano (ángulo diedro. $\arccos 1/3$ ) es el más patológico entre los casos "no patológicos" más próximos -el caso esférico mencionado anteriormente y el caso hiperbólico (ángulo diedro $\pi/3$ ). En el capítulo de Wikipedia " Panal tetraédrico de orden 6 "

Una pregunta adicional: ¿es el caso euclidiano en algún sentido un cociente de éste?

Answer 3

No sé por qué esta pregunta ha pasado a la primera página, pero ya que lo ha hecho, podría contestarla Hice una película de esto hace mucho tiempo, mostrando la vista dentro de un tetraedro regular (euclidiano) con caras reflectantes (teñidas de rojo, verde, azul y blanco, ¡e intrínsecamente luminosas para que podamos ver algo!), así como lo que se siente al moverse a lo largo de una línea recta "a través" de los espejos (equivalentemente, la trayectoria de una bola de billar, pero con la vista invertida en cada reflejo para que parezca que atravesamos el espejo).

En comparación, este vídeo realizado por mi amigo Vincent Nesme¹, muestra una representación de la célula 600 como un mosaico regular de la 3-esfera constantemente curvada por 600 tetraedros regulares (¡esféricos!), y moviéndose en línea recta (gran círculo) en esta geometría.

1. Anteriormente había hecho tal video utilizando la proyección gnomónica para mapear las líneas en el espacio euclidiano e introduciendo el resultado en POVray, pero aunque esto proyecta correctamente las líneas, no proyecta correctamente su grosor. Vincent fue mucho más paciente que yo y escribió su propio raytracer para esto.