Ejemplos de pruebas falsas interesantes

Question

Según Wikipedia Prueba falsa

Por ejemplo, la razón por la que falla la validez puede ser una división por cero oculta por la notación algebraica. Hay una cualidad sorprendente de la falacia matemática: tal y como se presenta típicamente, no sólo conduce a un resultado absurdo, sino que lo hace de forma astuta o ingeniosa.

La página de Wikipedia da ejemplos de pruebas del tipo $2=1$ y la fuente primaria aparece el libro Maxwell, E. A. (1959), Fallacies in mathematics.

¿Cuáles son algunos ejemplos de pruebas falsas interesantes?

Answer 1

Mi ejemplo favorito es la siguiente demostración del teorema de Cayley-Hamilton, que me causó cierto desconcierto cuando era estudiante. Sea $A$ sea una matriz cuadrada, y llamemos $p(t) = \det(tI - A)$ su polinomio característico. Entonces $p(A) = \det(AI-A) = 0$ .

Answer 2

$$e^i = (e^i)^{(2\pi/2\pi)} = (e^{2\pi i})^{1/2\pi} = 1^{1/2\pi} = 1.$$

La vi por primera vez hace muchos años, escrita en la pared de un retrete del departamento de matemáticas de la Universidad de Princeton.

Answer 3

Me gusta éste, inventado por T.Clausen en 1827: desde $e^{2\pi i n}=1$ para todos los números enteros $n$ tenemos $e^{2\pi i n+1}=e$ lo que implica $e^{(2\pi i n+1)^2}=(e^{2\pi i n+1})^{2\pi i n+1}=e^{2\pi i n+1}=e$ . Ahora expandiendo el cuadrado en el exponente se obtiene $$e^{1-4\pi^2n^2+4\pi n i}=e$$ y tras simplificar $$e^{-4\pi^2n^2}=1$$ para todos $n$ .

Answer 4

En la definición de una relación de equivalencia $\sim$ la reflexividad de $\sim$ es redundante: En efecto, para cualquier $x$ por la propiedad simétrica tenemos $x \sim y$ implica $y \sim x$ . Por transitividad tenemos $x \sim y$ y $y \sim x$ implica $x \sim x$ . Por lo tanto, utilizando únicamente la simetría y la transitividad, obtenemos la reflexividad.

Answer 5

Ethan Akin "prueba" que todos los haces vectoriales son establemente triviales, y por lo tanto el $K$ -de cualquier espacio debe desaparecer:

Sea $V$ sea un haz vectorial sobre el espacio base $B$ . Sea $T$ sea un haz trivial del mismo rango que $V$ . Para demostrar que $V$ es establemente trivial, basta demostrar que $$V\oplus V=V\oplus T$$ .

Sea $P$ sea el haz principal asociado a $V$ . Tire de $P$ sobre sí mismo para obtener un haz $Q$ :

Entonces $Q$ (junto con el mapa de $B$ ) es el haz principal asociado a $V\oplus V$ . Pero el paquete $Q\rightarrow P$ tiene claramente una sección, a saber, el mapa diagonal (ver $Q$ como subespacio de $P\times P$ ). Así, $Q=P\times GL_n$ que (junto con el mismo mapa a $B$ ) es el haz principal asociado a $V\oplus T$ .

(Referencia: Ethan Akin, La teoría K no existe JPAA 12 (1978) pp.177-179.)