Acción discontinua adecuada

Question

Cuando se busca la definición y teoremas relacionados con la Propiamente discontinua acción de un grupo de $G$ sobre un espacio topológico $X$, es diferente en los distintos libros (Topología y Geometría-Bredon, Funciones Complejas-Jones, Tres Dimensiones de la Geometría y la Topología de Thurston). Por lo tanto, va a ser aclarado, si escribimos estas definiciones por separado, y ver que es más fuerte o que son equivalentes? Voy a nombre de ellos como de "Tipo a", "B"..)

Deje $X$ ser un espacio topológico y $G$ ser un grupo que actúa en $X$.

Definición 1: La acción es de "Tipo a", si el mapa $G \times X \rightarrow X \times X$, dado por $(g,x)\mapsto (x,g.x)$ es adecuada, es decir, la imagen inversa de cualquier conjunto compacto en virtud de este mapa es compacto.

Definición 2: La acción es de "Tipo B" si para cualquier conjunto compacto $K\subseteq X$, $K\cap g.K=\phi$ para todos, pero un número finito de $g\in G$.

Definición 3: La acción es de "Tipo C" si para cada una de las $x\in X$ ha abierto un barrio de $U$ tal que $g.U\cap U=\phi$ para todos, pero un número finito de $g\in G$.

Definición 4: La acción es de "Tipo D" si para cada una de las $x\in X$, existe un abierto de vecindad $U$ de % de$x$, de tal manera que $g.U\cap U\neq \phi$ para $g\in G$ implica $g.x=x$.

Definición 5: La acción es de "Tipo E" si cada una de las $x\in X$ tiene una vecindad $U$ tales que el conjunto {$ g\in G \colon g.x\in U $} es finito.

P. 1 Qué tipo de acciones implica que el otro tipo de acción?

P. 2 Si $X$ es Hausdorff, entonces en qué tipo de acción, el cociente $X/G$ es Hausdorff?

(Estos son necesarios, cuando se estudia la acción de un grupo sobre una superficie de Riemann compacta, su cociente, si el cociente mapa es ramificado o no ramificado, etc,)

(Esta pregunta puede no ser aplicable para el MO; pero cuando la lectura de un documento se relaciona con la enumeración de equivalente cubiertas de un espacio, con dado (finito) de transformación del grupo, me encontré con esta idea, y cuando la miró a los detalles, las diferentes definiciones perplejo.)

Answer 1

A continuación localmente compacto espacios, se asume el Hausdorff. El siguiente es esencialmente un destilado de los resultados de Bourbaki del Topologie Générale, Chapitres II y III.

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Definición. Una función continua $f: X \to Y$ se llama adecuada si $f$ mapas de conjuntos cerrados para conjuntos cerrados y $f^{-1}(K)$ es compacto para todo compacto $K \subset Y$.

Observación. Si $X$ es Hausdorff y $Y$ es localmente compacto, entonces una función continua $f: X \to Y$ es correcta si y sólo si $f^{-1}(K)$ es compacto para todo compacto $K \subset Y$. Por otra parte, $X$ debe ser localmente compacto.

Para ver esto, cubierta $Y$ abierto y relativamente compacto conjuntos de $U_{\alpha}$. A continuación, $f^{-1}(U_{\alpha})$ es una cubierta de $X$ relativamente compacto establece, por tanto, $X$ es localmente compacto. Si $F \subset X$ es cerrado, a continuación, $f(F)$ es cerrado. De hecho, si $(y_{n}) \subset f(F)$ es una red convergente a $y$, entonces podemos asumir que todos los $y_{n}$ están en un compacto vecindario $K$ de % de$y$. Escoge un pre-imagen de $x_{n}$ de cada una de las $y_{n} \in f^{-1}(K)$, que es compacto, por supuesto. Si $x_{i} \to x \in f^{-1}(K)$ es convergente subred de $(x_{n})$ entonces $(f(x_{i}))$ es una subred de $(y_{n})$, por lo tanto $f(x) = y$ por la continuidad y por lo tanto $y \in f(F)$.

Observación. En la definición del propio bastaría con exigir que $f$ es cerrado y $f^{-1}(y)$ es compacto para todas las $y \in Y$, pero la definición anterior es suficiente para los propósitos actuales.

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Definición. Deje $G$ ser un grupo topológico actuando de forma continua en un espacio topológico $X$. La acción se llama adecuada si el mapa $\rho: G \times X \to X \times X$ dado por $(g,x) \mapsto (x,gx)$ es adecuado.

La proposición. Si $G$ actúa correctamente en $X$ entonces $X/G$ es de Hausdorff. En particular, cada órbita $Gx$ es cerrado. El estabilizador $G_{x}$ de cada punto es compacto y el mapa de $G/G_{x} \to Gx$ es un homeomorphism. Por otra parte, si $G$ es Hausdorff entonces es $X$.

Prueba. De hecho, la órbita de la relación de equivalencia es la imagen de $\rho$, por lo tanto es cerrado. Desde la proyección de $X \to X/G$ es abierto, esto implica que $X/G$ es de Hausdorff. Desde la pre-imagen de el punto de $[x]$ en $X/G$ es de su órbita $Gx$, vemos que las órbitas están cerrados. El estabilizador $G_{x}$ de un punto de $x$ es la proyección de $\rho^{-1}(x,x)$ a $G$, por lo tanto es compacto. El mapa de $G/G_{x} \to Gx$ es adecuado y $1$a-$1$, por lo tanto, un homeomorphism. Por último, si $G$ es Hausdorff, entonces $\{e\} \times X \subset G \times X$ es cerrado y por lo tanto, la diagonal $\Delta_{X} = \rho(\{e\} \times X)$ de % de $X \times X$ es cerrado, por lo tanto $X$ es de Hausdorff.

Ejercicio. Deje $G$ ser un topológico de Hausdorff grupo actuando correctamente en un localmente compacto espacio de $X$. A continuación, $G$ e $X/G$ son tanto localmente compacto. Si $X$ es compacto Hausdorff entonces $G$ e $X/G$.

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Reemplazar finito por compacto en el Tipo a y el Tipo B. a Continuación, tenemos las siguientes implicaciones para una acción continua:

Adecuado $\Longrightarrow$ Tipo a, de lo contrario aplica en el caso de ambos $G$ e $X$ son localmente compactos.

Escriba Un $\Longrightarrow$ Tipo B.

Deje $K \subset X$ ser compacto. A continuación, $K \times K \subset X \times X$ es compacto. Por lo tanto, si la acción es de tipo a, $\rho^{-1}(K \times K) = \{(g,x) \in G \times X\,:\,(x,gx) \in K \times K\} \subset G \times X$ es compacto. La proyección de este conjunto de a $G$ es compacto y consiste, precisamente, de la $g \in G$ para que $K \cap gK \neq \emptyset$.

Tipo B $\Longrightarrow$ Escriba Un si $X$ es de Hausdorff.

Tenemos que mostrar que $\rho^{-1}(L)$ es compacto para cada compacto $L \subset X \times X$. Deje $K$ ser la unión de las dos proyecciones de $L$. A continuación, $(g,x) \in \rho^{-1}(K \times K)$ es equivalente a $x \in K \cap gK$. Desde $\rho^{-1}(K \times K)$ es compacto y $\rho^{-1}(L)$ es un subconjunto cerrado de $\rho^{-1}(K \times K)$, tenemos que $\rho^{-1}(L)$ es compacto.

Corolario. Si $G$ e $X$ son localmente compactos, propio, Tipo a y Tipo B son equivalentes.

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Permítanme ahora muestran que en el localmente compacto ajuste propio es equivalente a un refinamiento de Tipo C:

La proposición. Deje $G$ e $X$ ser localmente compacto y asumir que $G$ actúa continuamente en $X$. Los siguientes son equivalentes:

1. La acción es la correcta.
2. Para todos los $x,y \in X$ hay barrios $U_{x}, U_{y} \subset X$ de % de $x$ e $y$ tal que $C = \{g \in G\,:\,gU_x \cap U_{y} \neq \emptyset \}$ es relativamente compacto.

Prueba. $1.$ implica $2.$ Vamos $K_{x}$ e $K_{y}$ ser compacto barrios de $x$ e $y$. Entonces el conjunto $\rho^{-1}(K_{x} \times K_{y})$ es compacto y su proyección a $G$ contiene $C$ e es compacto. Ahora vamos a $U_{x}$ e $U_{y}$ ser el interior de $K_{x}$ e $K_{y}$.

$2.$ implica $1$. Deje $K \subset X \times X$ ser compacto. Queremos mostrar que $\rho^{-1}(K)$ es compacto así. Deje $(g_{n},x_{n})$ ser universal netos en $\rho^{-1}(K)$. A continuación, $(x_{n},g_{n}x_{n})$ es un universal netos en $K$ y por lo tanto converge a algunos $(x,y) \in K$. Deje $U_{x}, U_{y}$ e $C$ ser $2.$. A continuación, $(x_{n},g_{n}x_{n}) \in U_{x} \times U_{y}$ finalmente, y por lo tanto también se $(g_{n}) \subset C$ eventualmente. Desde $(g_{n})$ es universal y $C$ es relativamente compacto, $(g_{n})$ converge a algunos $g \in G$. Por lo tanto $(g_{n},x_{n})$ converge a $(g,x) \in \rho^{-1}(K)$.

Ejemplo. Para ver que Tipo C es más débil de lo propio, considere la posibilidad de $A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2^{-1} \end{pmatrix}$ y la acción de la $\mathbb{Z}$ a $\mathbb{R}^{2} \smallsetminus \{0\}$ dado por $n \cdot x = A^{n} x$. Por ejemplo, para $x = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ e $y = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ y todos los vecindarios $U_{x} \ni x$ e $U_{y} \ni y$ el conjunto $\{n \in \mathbb{Z}\,:\, U_{x} \cap n \cdot U_{y} \neq \emptyset \}$ es infinito. Así, esta acción no es correcta. Por otro lado, es fácil ver que es de Tipo C.

Observación. El ejemplo anterior muestra que el propio de una acción no es una propiedad local.

Ejercicio. Si la acción de un localmente compacto grupo de $G$ en un localmente compacto espacio de $X$ es de tipo C y $X/G$ es Hausdorff, entonces es correcto.

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Para terminar esta discusión, es evidente que una acción de tipo C es también de tipo E, por lo tanto el tipo E es también más débil de lo propio. Finalmente, un trivial de acción es de tipo D, por lo que esta propiedad no tiene nada que ver con el propio.

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Aquí hay algunas referencias:

He seguido Bourbaki, Topologie Générale, Ch. III, en la terminología, y las pruebas que he dado son variantes de Bourbaki es. A mí me gusta Koszul de Conferencias sobre los grupos de transformaciones. Si usted está buscando un peatón enfoque, usted puede encontrar el más importante de los hechos que se Lee en la Introducción a topológica de los colectores.

Answer 2

Theo Buehler hizo un gran trabajo relacionados con los Tipos a, B, C, y E. Van fuera de Stefan Witzel la respuesta, me gustaría señalar que en Munkres de la Topología en el artículo 81 (página 505 de que link), que define una acción propiamente discontinua si para todas las $x\in X$ hay una nbhd $U$ s.t. $g(U)\cap U = \emptyset$ si $g=1$. Así que si lo modificamos el Tipo D de la pregunta original a la conclusión de $g=1$ más que solo eso $g$ corrige $x$, entonces podemos recuperar Munkres " definición y ya no es tan trivial como Theo respuesta mostró el viejo Tipo D definición. Creo que Munkres' definición es la que yo creo que el punto establecido topologists usaría. Es bueno porque usted no necesita asumir una topología en $G$, pero, por supuesto, usted puede simplemente poner la topología discreta en él. Tal vez las otras definiciones son más populares en la literatura de superficies de Riemann, y la diferencia puede ser debido a la hipótesis de pie en ese campo, ya que a menudo preocupa más el caso de Fuchsian grupos. Sin duda Munkres' definición implica tipo E y Tipo C

Munkres también señala que el cociente mapa de $\pi: X\rightarrow X/G$ es una cubierta mapa iff la acción de la $G$ es propiamente discontinua.

Un ejercicio en el artículo 81 da: Vamos a $X$ ser localmente compacto Hausdorff y deje $G$ actuar libremente (es decir, de punto fijo-libre). Supongamos que para cada compacto $C \subset X$ hay sólo un número finito $g\in G$ s.t. $C\cap g(C) \neq \emptyset$. Entonces la acción de la $G$ es propiamente discontinua y $X/G$ es localmente compacto Hausdorff. Por lo que este le dice que cuando el Tipo B implica Munkres' definición.

Ahora vamos a relacionar Munkres " definición de Tipo de Una y de Theo respuesta. El uso de Theo diversas propuestas y corolarios no es difícil ver que si $X$ es localmente compacto Hausdorff espacio y $G$ es cualquier grupo (que vamos a equipar con la topología discreta), a continuación, Munkres' definición implica Tipo A. por el Contrario, si $X$ es localmente compacto, entonces una adecuada acción de un grupo discreto debe ser de Tipo B (por Theo comentario) y esto implica Munkres' definición porque las compacidad nos permite obtener de $g(K)\cap K = \emptyset$ a $g(U)\cap U = \emptyset$.

Answer 3

Solo dos pequeños comentarios:

• La acción es propiamente discontinua si es adecuada y el grupo está equipado con una topología discreta (compacto, entonces significa finito, esto supone cierta confusión, supongo).
• Creo que en la Definición 4 la conclusión debería ser$g = 1$. Entonces significa que la acción es adecuadamente discontinua y gratuita (lo que, por ejemplo, Bredon llama adecuadamente discontinua).